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文件名称:基变换与坐标变换-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:44
线性代数 李炯生 带目录无背景
§4.4 基变换与坐标变换
§4.3讨论了数域 F上的 n维线性空间V的向量在V的一组基下的坐标.一般
地说,同一个向量在不同基下的坐标是不同的.问题是,同一个向量在不同基下的
坐标之间有什么关系?这就是本节所要讨论的问题.
为讨论方便,今后把向量在一组基下的坐标写成列向量形式.
设 {α, α, . . . , αn}与 {β, β, . . . , βn}分别是数域F上的 n维线性空间V的基,
设向量 α ∈ V 在这两组基下的坐标分别为
x = (x, x, . . . , xn)T 与 y = (y, y, . . . , yn)T.
由于 {α, α, . . . , αn}是V的基,因此向量 {β, β, . . . , βn}可由向量 {α, α, . . . ,
αn}线性表出,所以可设
β = bα + bα +⋯ + bnαn,
β = bα + bα +⋯ + bnαn,
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
βn = bnα + bnα +⋯ + bnnαn.
上式可以写成矩阵形式如下:
(β, β, . . . , βn) = (α, α, . . . , αn)
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
b b ⋯ bn
b b ⋯ bn
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
bn bn ⋯ bnn
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
.
记 B = (b i j),于是上式即为
(β, β, . . . , βn) = (α, α, . . . , αn)B. (4.4.1)
式 (4.4.1)称为由基 {α, α, . . . , αn}到基 {β, β, . . . , βn}的基变换公式,矩阵 B
称为由基 {α, α, . . . , αn}到基 {β, β, . . . , βn}的过渡矩阵.
定理 4.4.1 设 {α, α, . . . , αn}与 {β, β, . . . , βn}分别是数域 F上的 n维线性
空间 V 的基.设方阵 A是由基 {β, β, . . . , βn}到基 {α, α, . . . , αn}的过渡矩阵.
则方阵 A可逆,并且由基 {α, α, . . . , αn}到基 {β, β, . . . , βn}的过渡矩阵为 A−.
证明 由于方阵 A = (a i j)是由基 {β, β, . . . , βn}到基 {α, α, . . . , αn}的过渡
矩阵,因此,
(α, α, . . . , αn) = (β, β, . . . , βn)A. (4.4.2)
设由基 {α, α, . . . , αn}到基 {β, β, . . . , βn}的过渡矩阵为 B = (b i j),则
(β, β, . . . , βn) = (α, α, . . . , αn)B. (4.4.3)
由式 (4.4.2)与式 (4.4.3),对于 i, j = , , . . . , n,