基变换与坐标变换-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：基变换与坐标变换-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:24

线性代数 李炯生 带目录无背景

§4.4 基变换与坐标变换 §4.3讨论了数域 F上的 n维线性空间V的向量在V的一组基下的坐标．一般 地说，同一个向量在不同基下的坐标是不同的．问题是，同一个向量在不同基下的 坐标之间有什么关系？这就是本节所要讨论的问题． 为讨论方便，今后把向量在一组基下的坐标写成列向量形式． 设 {α， α， . . . ， αn}与 {β， β， . . . ， βn}分别是数域F上的 n维线性空间V的基， 设向量 α ∈ V 在这两组基下的坐标分别为 x = (x， x， . . . ， xn)T 与 y = (y， y， . . . ， yn)T． 由于 {α， α， . . . ， αn}是V的基，因此向量 {β， β， . . . ， βn}可由向量 {α， α， . . . ， αn}线性表出，所以可设 β = bα + bα +⋯ + bnαn， β = bα + bα +⋯ + bnαn， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ βn = bnα + bnα +⋯ + bnnαn． 上式可以写成矩阵形式如下： (β， β， . . . ， βn) = (α， α， . . . ， αn) ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ b b ⋯ bn b b ⋯ bn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ bn bn ⋯ bnn ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ ． 记 B = (b i j)，于是上式即为 (β， β， . . . ， βn) = (α， α， . . . ， αn)B． (4.4.1) 式 (4.4.1)称为由基 {α， α， . . . ， αn}到基 {β， β， . . . ， βn}的基变换公式，矩阵 B 称为由基 {α， α， . . . ， αn}到基 {β， β， . . . ， βn}的过渡矩阵． 定理 4.4.1 设 {α， α， . . . ， αn}与 {β， β， . . . ， βn}分别是数域 F上的 n维线性 空间 V 的基．设方阵 A是由基 {β， β， . . . ， βn}到基 {α， α， . . . ， αn}的过渡矩阵． 则方阵 A可逆，并且由基 {α， α， . . . ， αn}到基 {β， β， . . . ， βn}的过渡矩阵为 A−． 证明 由于方阵 A = (a i j)是由基 {β， β， . . . ， βn}到基 {α， α， . . . ， αn}的过渡 矩阵，因此， (α， α， . . . ， αn) = (β， β， . . . ， βn)A． (4.4.2) 设由基 {α， α， . . . ， αn}到基 {β， β， . . . ， βn}的过渡矩阵为 B = (b i j)，则 (β， β， . . . ， βn) = (α， α， . . . ， αn)B． (4.4.3) 由式 (4.4.2)与式 (4.4.3)，对于 i， j = ， ， . . . ， n，