线性变换-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：线性变换-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:25

线性代数 李炯生 带目录无背景

§5.5 线性变换 本节恒假设 V 是数域 F 上 n维线性空间． 我们知道，集合 S到自身的映射通常也称为集合 S的变换．因此线性映射 A ∶V → V 也称为线性空间 V 的线性变换．由于线性变换是线性映射的特例，所以 前面叙述的关于线性映射的结论对线性变换也成立．当然，由于线性变换是特殊 类型的线性映射，所以关于线性变换的结论也带有某种特殊性．这里只总结一下 那些带有特殊性的结论．首先考虑线性变换A ∶V → V 的矩阵表示． 设 {α， α， . . . ， αn}是 V 的基．则A (α)，A (α)， . . . ，A (αn) ∈ V．因此 A (α) = aα + aα +⋯ + anαn， A (α) = aα + aα +⋯ + anαn， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A (αn) = anα + anα +⋯ + annαn． 即 A (α， α， . . . ， αn) = (α， α， . . . ， αn) ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ a a ⋯ an a a ⋯ an ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ an an ⋯ ann ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ ． 记 A = (a i j) ∈ F n×n．则上式为 A (α， α， . . . ， αn) = (α， α， . . . ， αn)A． (5.5.1) 方阵 A称为线性变换A ∶V → V 在基 {α， α， . . . ， αn}下的矩阵． 数域 F上 n维线性空间 V 的所有线性变换集合记为Ln(V)．容易验证， Ln(V)在线性变换（即线性映射）的加法与纯量和线性变换的乘法下成为数域F上 n维线性空间．数域F上所有 n阶方阵集合记为F n×n．定义映射 η∶Ln(V)→ F n×n 如下：设A ∈Ln(V)，且A 在 V的基 {α， α， . . . ， αn}下的方阵为 A，即式 (5.5.1)成 立，则令 η(A ) = A． 容易验证，映射 η是单射．并由式 (5.5.1)可以确定一个线性变换A ∈Ln(V)， 使得 η(A ) = A，即映射 η是一个满射．不但如此，映射 η是Ln(V)到 F n×n上的同 构映射． 设 {β， β， . . . ， βn}是 V 的另一组基，线性变换A ∶V → V 在基 {β， β， . . . ， βn} 下的方阵为 B，即 A (β， β， . . . ， βn) = (β， β， . . . ， βn)B． (5.5.2) 设基 {α， α， . . . ， αn}到基 {β， β， . . . ， βn}的过渡矩阵为 P，即