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文件名称:线性变换-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:45
线性代数 李炯生 带目录无背景
§5.5 线性变换
本节恒假设 V 是数域 F 上 n维线性空间.
我们知道,集合 S到自身的映射通常也称为集合 S的变换.因此线性映射
A ∶V → V 也称为线性空间 V 的线性变换.由于线性变换是线性映射的特例,所以
前面叙述的关于线性映射的结论对线性变换也成立.当然,由于线性变换是特殊
类型的线性映射,所以关于线性变换的结论也带有某种特殊性.这里只总结一下
那些带有特殊性的结论.首先考虑线性变换A ∶V → V 的矩阵表示.
设 {α, α, . . . , αn}是 V 的基.则A (α),A (α), . . . ,A (αn) ∈ V.因此
A (α) = aα + aα +⋯ + anαn,
A (α) = aα + aα +⋯ + anαn,
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
A (αn) = anα + anα +⋯ + annαn.
即
A (α, α, . . . , αn) = (α, α, . . . , αn)
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
a a ⋯ an
a a ⋯ an
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
an an ⋯ ann
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
.
记 A = (a i j) ∈ F n×n.则上式为
A (α, α, . . . , αn) = (α, α, . . . , αn)A. (5.5.1)
方阵 A称为线性变换A ∶V → V 在基 {α, α, . . . , αn}下的矩阵.
数域 F上 n维线性空间 V 的所有线性变换集合记为Ln(V).容易验证,
Ln(V)在线性变换(即线性映射)的加法与纯量和线性变换的乘法下成为数域F上
n维线性空间.数域F上所有 n阶方阵集合记为F n×n.定义映射 η∶Ln(V)→ F n×n
如下:设A ∈Ln(V),且A 在 V的基 {α, α, . . . , αn}下的方阵为 A,即式 (5.5.1)成
立,则令 η(A ) = A.
容易验证,映射 η是单射.并由式 (5.5.1)可以确定一个线性变换A ∈Ln(V),
使得 η(A ) = A,即映射 η是一个满射.不但如此,映射 η是Ln(V)到 F n×n上的同
构映射.
设 {β, β, . . . , βn}是 V 的另一组基,线性变换A ∶V → V 在基 {β, β, . . . , βn}
下的方阵为 B,即
A (β, β, . . . , βn) = (β, β, . . . , βn)B. (5.5.2)
设基 {α, α, . . . , αn}到基 {β, β, . . . , βn}的过渡矩阵为 P,即