Cramer法则-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:20

线性代数 李炯生 带目录无背景

§2.4 Cramer法则 作为 Laplace展开定理的应用，本节介绍关于线性方程组解的Cramer法则． 设 x， x， . . . ， xn是 n个未知量，它们满足以下 n个线性方程构成的线性方程 组： ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ax + ax +⋯ + anxn = b， ax + ax +⋯ + anxn = b， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ anx + anx +⋯ + annxn = bn， (2.4.1) 其中系数 a i j和常数项 bk都属于数域 F，并且都是已知的， ⩽ i， j， k ⩽ n．n个系数 a i j构成的 n阶方阵 A = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ a a ⋯ an a a ⋯ an ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ an an ⋯ ann ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ 称为线性方程组 (2.4.1)的系数矩阵．方阵 A的行列式 detA称为线性方程组 (2.4.1) 的系数行列式． 如果数域 F 上有序 n元数组 (x ， x   ， . . . ， x  n)满足线性方程组 (2.4.1)中所有的 方程，即 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ax   + ax   +⋯ + anx  n = b， ax   + ax   +⋯ + anx  n = b， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ anx   + anx   +⋯ + annx  n = bn， 则有序 n元数组 (x ， x   ， . . . ， x  n)称为线性方程组 (2.4.1)的解． 记线性方程组 (2.4.1)的系数行列式 detA为 ∆．依次用线性方程组 (2.4.1)的常 数项 b， b， . . . ， bn替换行列式 ∆的第 j列上的元素，得到的行列式记为 ∆ j，即 ∆ j = RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR a a ⋯ a， j− b a， j+ ⋯ an a a ⋯ a， j− b a， j+ ⋯ an ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an an ⋯ an， j− bn an， j+ ⋯ ann RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR ． 于是，有 定理 2.4.1（Cramer法则）设线性方程组 (2.4.1)的系数行列式 ∆ ≠ ，则线性方 程组 (2.4.1)具有唯一解 ( ∆ ∆ ， ∆ ∆ ， . . . ， ∆n ∆ )． 证明 记