共轭算子-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：共轭算子-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2021-06-15 06:26:57
线性代数 李炯生 带目录无背景 A3.3 共轭算子 在上一节中对于一般的向量空间上的线性变换，定义并讨论了其伴随算子． 当向量空间是内积空间，其上的线性变换，则可定义并讨论其共轭算子，这是内积 空间中十分重要的算子，由此可以导出一系列的结果，这是本节的内容． 由内积空间的 Riesz表示定理（详见A2.4），若 V 是有限维内积空间，f ∈ V∗，则 存在唯一的 x ∈ V，使得 f (v) = ⟨v， x⟩ 对所有 v ∈ V 都成立．由此可以定义映射 ϕ∶V∗ → V 为 ϕ( f ) = x，即 ϕ( f )定义为 f (v) = ⟨v，ϕ( f )⟩． 由于对 v ∈ V，f ， g ∈ V∗，r， s ∈ F， ⟨v，ϕ(r f + sg)⟩ = (r f + sg)(v) = r f (v) + sg(v) = ⟨v， rϕ( f )⟩ + ⟨v， sϕ(g)⟩ = ⟨v， rϕ( f ) + sϕ(g)⟩， 即 ϕ(r f + sg) = rϕ( f ) + sϕ(g)， 于是 ϕ为共轭线性．ϕ显然是满射．由于 ϕ( f ) = 蕴涵 f = ，故 ϕ也是单射，从而 ϕ∶V∗ → V 为“共轭同构”(conjugate isomorphism)． 若 V ，W为域 F 上的有限维内积空间，τ ∈ L(V ，W)，对于固定的w ∈W，考虑 函数 θw ∶V → F 定义为 θw(v) = ⟨τ(v)，w⟩． 易证，θw是 V 上的线性泛函．由 Riesz表示定理，存在唯一的 x ∈ V，使得