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文件名称：内积空间上算子的标准形式-ibm_知识管理白皮书
文件大小：3.19MB
文件格式：PDF
更新时间：2021-06-15 06:26:59
线性代数 李炯生 带目录无背景
A5.5 内积空间上算子的标准形式
1. 在A2.4及A3.3中介绍了内积空间以及其上的三种重要算子：自共轭算子、
酉算子以及正规算子，还讨论了它们的一些简单性质．现在来看看这些算子的特
征值及特征空间．
命题 A5.5.1 若 τ是自共轭算子，则 τ的特征多项式的根都是实数．也就是
说，τ的特征值全是实的．
证明 先设 V 是复向量空间，λ是 τ的特征多项式 Cτ(x)的根，则有 v ≠ ，使
得 τ(v) = λv．于是
⟨τ(v)， v⟩ = ⟨λv， v⟩ = λ⟨v， v⟩．
由于 τ是自共轭的，故
⟨τ(v)， v⟩ = ⟨v， τ(v)⟩ = ⟨v， λv⟩ = λ⟨v， v⟩，
故 λ = λ，即 λ是实数．
若 V 是实向量空间，则 τ对 V 的某一组基其对应的矩阵是实对称阵 A．于是
Cτ(x) = CA(x)．因 A是实对称阵，可看作复空间Cn的一个自共轭线性算子，如上
面所证，其特征多项式的根是实的．将 A看作实的或复的矩阵，其特征多项式是一
样的，故得证． ∎
命题 A5.5.2 若 τ是酉算子，则 τ的特征值的绝对值为 ．
证明 由于 τ为酉算子及 τ(v) = λv，则
λλ⟨v， v⟩ = ⟨λv， λv⟩ = ⟨τ(v)， τ(v)⟩ = ⟨v， v⟩，
故 ∣λ∣ = ，即 ∣λ∣ = ． ∎
命题 A5.5.3 若 τ为正规算子，λ， µ为 τ的不同的特征值，则对应的特征子空
间互相正交．特别地，自共轭算子和酉算子的不同特征值对应的特征子空间互相
正交．
证明 由于 τ(v) = λv，τ(w) = µw，这里 v，w ≠ ，则
λ⟨v，w⟩ = ⟨τ(v)，w⟩ = ⟨v， τ∗(w)⟩ = ⟨v， µw⟩ = µ⟨v，w⟩，
由 µ ≠ λ可知 ⟨v，w⟩ = ．
这里用到 τ∗(w) = µw，参见A3.3中正规算子的性质 (5)． ∎
前面的有理标准形式及 Jordan形式一般不是对角矩阵，什么情况下可化为对
角矩阵？
定义 A5.5.1 若 V 是有限维内积空间，τ ∈ L(V)．若有 V 的正规正交基O使
得 [τ]O是一个对角矩阵，则称 τ可正交对角化 (orthogonal diagonalizable)．