文件名称：内积空间上算子的标准形式-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:39
线性代数 李炯生 带目录无背景
A5.5 内积空间上算子的标准形式 1. 在A2.4及A3.3中介绍了内积空间以及其上的三种重要算子：自共轭算子、 酉算子以及正规算子，还讨论了它们的一些简单性质．现在来看看这些算子的特 征值及特征空间． 命题 A5.5.1 若 τ是自共轭算子，则 τ的特征多项式的根都是实数．也就是 说，τ的特征值全是实的． 证明 先设 V 是复向量空间，λ是 τ的特征多项式 Cτ(x)的根，则有 v ≠ ，使 得 τ(v) = λv．于是 ⟨τ(v)， v⟩ = ⟨λv， v⟩ = λ⟨v， v⟩． 由于 τ是自共轭的，故 ⟨τ(v)， v⟩ = ⟨v， τ(v)⟩ = ⟨v， λv⟩ = λ⟨v， v⟩， 故 λ = λ，即 λ是实数． 若 V 是实向量空间，则 τ对 V 的某一组基其对应的矩阵是实对称阵 A．于是 Cτ(x) = CA(x)．因 A是实对称阵，可看作复空间Cn的一个自共轭线性算子，如上 面所证，其特征多项式的根是实的．将 A看作实的或复的矩阵，其特征多项式是一 样的，故得证． ∎ 命题 A5.5.2 若 τ是酉算子，则 τ的特征值的绝对值为 ． 证明 由于 τ为酉算子及 τ(v) = λv，则 λλ⟨v， v⟩ = ⟨λv， λv⟩ = ⟨τ(v)， τ(v)⟩ = ⟨v， v⟩， 故 ∣λ∣ = ，即 ∣λ∣ = ． ∎ 命题 A5.5.3 若 τ为正规算子，λ， µ为 τ的不同的特征值，则对应的特征子空 间互相正交．特别地，自共轭算子和酉算子的不同特征值对应的特征子空间互相 正交． 证明 由于 τ(v) = λv，τ(w) = µw，这里 v，w ≠ ，则 λ⟨v，w⟩ = ⟨τ(v)，w⟩ = ⟨v， τ∗(w)⟩ = ⟨v， µw⟩ = µ⟨v，w⟩， 由 µ ≠ λ可知 ⟨v，w⟩ = ． 这里用到 τ∗(w) = µw，参见A3.3中正规算子的性质 (5)． ∎ 前面的有理标准形式及 Jordan形式一般不是对角矩阵，什么情况下可化为对 角矩阵？ 定义 A5.5.1 若 V 是有限维内积空间，τ ∈ L(V)．若有 V 的正规正交基O使 得 [τ]O是一个对角矩阵，则称 τ可正交对角化 (orthogonal diagonalizable)．