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文件名称:Jordan标准形式-ibm_知识管理白皮书
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文件格式:PDF
更新时间:2021-06-15 06:26:59
线性代数 李炯生 带目录无背景
A5.4 Jordan标准形式
有限维向量空间的每个线性算子 τ都有有理标准形式,即所有有理标准形式
的矩阵的全体组成一个标准形式集合.显然,有理标准形式还不是我们指望的那
样具有简单的形式.对一些重要的特殊的情形,我们可以得到更为简单的标准形
式.这种重要的特殊情形是:若 τ ∈L(V),它的极小多项式可以分解为线性因子的
乘积,即
mτ(x) = (x − λ)e⋯(x − λn)en. (A5.4.1)
当一个多项式在域 F 上可以分解为线性因子的乘积时,称多项式可以在 F 上分裂
(split).
若域 F 上任一非常数的多项式的根仍在 F中,称 F 为代数封闭的 (algebraic
closed).因此,在代数封闭域上不可约多项式只有线性多项式.故任意非常数多项
式在 F 上分裂.代数封闭域简单的例子是复数域.
回顾有理标准形式.⟨v i, j⟩是循环子模,其首一阶为初等因子 p
e i, j
i (x),由于对
pe i, ji 了解甚少,以致作为 V 的 τ−循环子空间,选取基为
Bi, j = (v i, j, τ i, j(v i, j), . . . , τ
d i, j−
i, j (v i, j)).
但当 τ的极小多项式是 (A5.4.1)时,其初等因子为
pe i, ji (x) = (x − λ i)
e i, j.
这时,我们可以更明智地选取基.
由于 dim⟨v i, j⟩ = deg p
e i, j
i (x),易见
Gi, j = (v i, j, (τ i, j − λ iε)(v i, j), . . . , (τ i, j − λ iε)e i, j−(v i, j))
也是 ⟨v i, j⟩的一组基.记 Gi, j中第 k个基向量为 bk,则当 k = , , . . . , e i, j − 时,
τ i, j(bk) = τ i, j((τ i, j − λ iε)k(v i, j)) = (τ i, j − λ iε + λ iε)((τ i, j − λ iε)k(v i, j))
= (τ i, j − λ iε)k+(v i, j) + λ i(τ i, j − λ iε)k(v i, j) = bk+ + λ ibk;
当 k = e i, j − 时,应用
(τ i, j − λ i)k+(v i, j) = (τ i, j − λ i)e i, j(v i, j) = ,
可得
τ i, j(be i, j−) = λ ib(e i, j−).
因此,相对于基 Gi, j,τ i, j = τ∣⟨v i, j⟩所对应的矩阵为 e i, j × e i, j方阵
g(λ i , e i, j) =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
λ i
λ i
⋱ ⋱
λ i
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
.