文件名称：Jordan标准形式-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:39
线性代数 李炯生 带目录无背景
A5.4 Jordan标准形式 有限维向量空间的每个线性算子 τ都有有理标准形式，即所有有理标准形式 的矩阵的全体组成一个标准形式集合．显然，有理标准形式还不是我们指望的那 样具有简单的形式．对一些重要的特殊的情形，我们可以得到更为简单的标准形 式．这种重要的特殊情形是：若 τ ∈L(V)，它的极小多项式可以分解为线性因子的 乘积，即 mτ(x) = (x − λ)e⋯(x − λn)en． (A5.4.1) 当一个多项式在域 F 上可以分解为线性因子的乘积时，称多项式可以在 F 上分裂 (split)． 若域 F 上任一非常数的多项式的根仍在 F中，称 F 为代数封闭的 (algebraic closed)．因此，在代数封闭域上不可约多项式只有线性多项式．故任意非常数多项 式在 F 上分裂．代数封闭域简单的例子是复数域． 回顾有理标准形式．⟨v i， j⟩是循环子模，其首一阶为初等因子 p e i， j i (x)，由于对 pe i， ji 了解甚少，以致作为 V 的 τ−循环子空间，选取基为 Bi， j = (v i， j， τ i， j(v i， j)， . . . ， τ d i， j− i， j (v i， j))． 但当 τ的极小多项式是 (A5.4.1)时，其初等因子为 pe i， ji (x) = (x − λ i) e i， j． 这时，我们可以更明智地选取基． 由于 dim⟨v i， j⟩ = deg p e i， j i (x)，易见 Gi， j = (v i， j， (τ i， j − λ iε)(v i， j)， . . . ， (τ i， j − λ iε)e i， j−(v i， j)) 也是 ⟨v i， j⟩的一组基．记 Gi， j中第 k个基向量为 bk，则当 k = ， ， . . . ， e i， j − 时， τ i， j(bk) = τ i， j((τ i， j − λ iε)k(v i， j)) = (τ i， j − λ iε + λ iε)((τ i， j − λ iε)k(v i， j)) = (τ i， j − λ iε)k+(v i， j) + λ i(τ i， j − λ iε)k(v i， j) = bk+ + λ ibk； 当 k = e i， j − 时，应用 (τ i， j − λ i)k+(v i， j) = (τ i， j − λ i)e i， j(v i， j) = ， 可得 τ i， j(be i， j−) = λ ib(e i， j−)． 因此，相对于基 Gi， j，τ i， j = τ∣⟨v i， j⟩所对应的矩阵为 e i， j × e i， j方阵 g(λ i ， e i， j) = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ λ i λ i ⋱ ⋱ λ i ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ ．