文件名称：Jordan标准形-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:27
线性代数 李炯生 带目录无背景
§6.3 Jordan标准形 设 V 是 n维复线性空间，A ∶V → V 是线性变换，λ， λ， . . . ， λt是A 的全部不 同特征值，且A 的特征多项式为 ϕ(λ) = (λ − λ)e(λ − λ)e⋯(λ − λt)e t ， 其中 e， e， . . . ， et是正整数，且 e + e +⋯ + et = n． 定理 6.3.1（空间第二分解定理）设Wλ j 是线性变换A ∶V → V 的属于特征值 λ j的根子空间．则 Wλ j = C j ⊕ C j ⊕⋯⊕ λ jk j ， 其中 C jℓ是相对 (A − λ jI )∣Wλ j 的循环子空间，其中 ℓ = ， ， . . . ， k j，j = ， ， . . . ， t． 简言之，A 的每个根子空间Wλ j都可分解为循环子空间的直和． 证明 由 §6.1可知，存在正整数m j，使得 Wλ j =W (m j) λ j = {α ∈ V ∣ (A − λ jI )m j(α) = }， 并且存在 ξ ∈Wλ j，使得 (A − λ jI ) m j−(ξ) ≠ ． 这表明A − λ jI 在Wλ j上的限制 (A − λ jI )∣Wλ j 是m j次幂零的． 由定理 6.2.2可知，存在非零向量 ξ j， ξ j， . . . ， ξ jk j ∈ Wλ j，它们生产的相对于 (A − λ jI )∣Wλ j 的循环子空间依次为 C j，C j， . . . ，C jk j，使得 Wλ j = C j ⊕ C j ⊕⋯⊕ C jk j． ∎ 在定理 6.3.1的证明已经指出，(A−λ jI )∣Wλ j 是m j次幂零的．因此 (A−λ jI )∣C jℓ 也是幂零的．设 dimC jℓ = m jℓ．由定理 6.2.2，可设m j = m j ⩾ m j ⩾ ⋯ ⩾ m jk j．由定 理 6.2.1可知，(λ − λ j)m jℓ 是A ∣C jℓ 的特征多项式与最小多项式．由定理 6.2.2，根子 空间Wλ j在分解为循环子空间的直和时，循环子空间的个数 k j与循环子空间的维 数m j，m j， . . . ，m jk j是由 (A − λ jI )∣Wλ j 所唯一确定的，也即A ∣ Wλ j 所唯一确定．因 此，(λ − λ j)m jℓ称为A 的属于特征值 λ j的一个初等因子，而 C jℓ称为相应于初等因 子 (λ − λ j)m jℓ 的循环子空间．A 的初等因子的全体称为A 的初等因子组． 由于 C jℓ是相应于初等因子 (λ − λ j)m jℓ 的循环子空间，而 C jℓ具有基 {α jℓ， (A − λ jI )(α jℓ)， (A − λ jI )(α jℓ)， . . . ， (A − λ jI )m jℓ−(α jℓ)}， 所以 (A − λ jI )∣C jℓ在这组基下的方阵为 (A − λ jI )∣C jℓ(α jℓ， (A − λ jI )(α jℓ)， . . . ， (A − λ jI ) m jℓ−(α jℓ)) = (α jℓ， (A − λ jI )(α jℓ)， . . . ， (A − λ jI )m jℓ−(α jℓ))NT(m jℓ)． 由于 (A − λ jI )∣C jℓ = A ∣C jℓ − λ jI ∣C jℓ，且