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文件名称:Jordan标准形的求法-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:47
线性代数 李炯生 带目录无背景
§6.5 Jordan标准形的求法
本节将利用 λ矩阵在相抵下的标准形理论,重新处理复方阵在相似下的标准
形问题,所说的方阵都指复方阵.先证明一个引理.
引理 6.5.1 任意一个 n阶 λ方阵都可以表为矩阵系数的多项式.具体地说,
对给定的 n阶非零的复 λ矩阵 A(λ) = (a i j(λ)),恒存在 n阶复方阵 A,A, . . . ,Am,
使得
A(λ) = Amλm + Am−λm− +⋯ + Aλ + A, (6.5.1)
其中 Am ≠ .
证明 对于 λ矩阵 A(λ) = (a i j(λ)),每个元素 a i j(λ)都是复系数多项式,记为
a i j(λ) = a
(m)
i j λ
m + a(m−)i j λ
m− +⋯ + a()i j λ + a
()
i j ,
其中 ⩽ i, j ⩽ n,并且存在某一对 i, j,使得 a(m)i j ≠ .因此,
A(λ) = (a(m)i j )λ
m + (a(m−)i j )λ
m− +⋯ + (a()i j )λ + (a
()
i j ).
记 Ak = (a
(k)
i j ),k = , , , . . . ,m.则上式即为 (6.5.1). ∎
下面的定理给出方阵的相似与 λ方阵的相抵之间的重要关系.
定理 6.5.1 n阶复方阵 A与 B相似的充分必要条件是,λ方阵 λI(n) − A与
λI(n) − B相抵.
证明 设方阵 A与 B相似,即 B = P−AP,其中 P是某个 n阶可逆复方阵.则
λI(n) − B = P−(λI(n) − A)P.
方阵 P当然是可逆的 λ方阵.因此 λ矩阵 λI(n) − A与 λI(n) − B相抵.
反之,设 λ方阵 λI(n) − A与 λI(n) − B相抵,即
λI(n) − B = P(λ)(λI(n) − A)Q(λ),
其中 P(λ)与 Q(λ)是 n阶可逆的 λ方阵.由引理 6.5.1,可设
Q(λ) = Qkλk + Qk−λk− +⋯ + Qλ + Q,
Q(λ)− = Rmλm + Rm−λm− +⋯ + Rλ + R,
记
W = Q(B) = QkBk + Qk−Bk− +⋯ + QB + Q.
因为 Q(λ)− ⋅ Q(λ) = I(n),所以
RmQ(λ)λm +⋯ + RQ(λ)λ + RQ(λ) = I(n).
因此
RmWB
m +⋯ + RWB + RW = I(n). (6.5.2)
但是,由于 λI(n) − B = P(λ)(λ(n) − A)Q(λ),所以