Jordan标准形的求法-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：Jordan标准形的求法-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:27

线性代数 李炯生 带目录无背景

§6.5 Jordan标准形的求法 本节将利用 λ矩阵在相抵下的标准形理论，重新处理复方阵在相似下的标准 形问题，所说的方阵都指复方阵．先证明一个引理． 引理 6.5.1 任意一个 n阶 λ方阵都可以表为矩阵系数的多项式．具体地说， 对给定的 n阶非零的复 λ矩阵 A(λ) = (a i j(λ))，恒存在 n阶复方阵 A，A， . . . ，Am， 使得 A(λ) = Amλm + Am−λm− +⋯ + Aλ + A， (6.5.1) 其中 Am ≠ ． 证明 对于 λ矩阵 A(λ) = (a i j(λ))，每个元素 a i j(λ)都是复系数多项式，记为 a i j(λ) = a (m) i j λ m + a(m−)i j λ m− +⋯ + a()i j λ + a () i j ， 其中  ⩽ i， j ⩽ n，并且存在某一对 i， j，使得 a(m)i j ≠ ．因此， A(λ) = (a(m)i j )λ m + (a(m−)i j )λ m− +⋯ + (a()i j )λ + (a () i j )． 记 Ak = (a (k) i j )，k = ， ， ， . . . ，m．则上式即为 (6.5.1)． ∎ 下面的定理给出方阵的相似与 λ方阵的相抵之间的重要关系． 定理 6.5.1 n阶复方阵 A与 B相似的充分必要条件是，λ方阵 λI(n) − A与 λI(n) − B相抵． 证明 设方阵 A与 B相似，即 B = P−AP，其中 P是某个 n阶可逆复方阵．则 λI(n) − B = P−(λI(n) − A)P． 方阵 P当然是可逆的 λ方阵．因此 λ矩阵 λI(n) − A与 λI(n) − B相抵． 反之，设 λ方阵 λI(n) − A与 λI(n) − B相抵，即 λI(n) − B = P(λ)(λI(n) − A)Q(λ)， 其中 P(λ)与 Q(λ)是 n阶可逆的 λ方阵．由引理 6.5.1，可设 Q(λ) = Qkλk + Qk−λk− +⋯ + Qλ + Q， Q(λ)− = Rmλm + Rm−λm− +⋯ + Rλ + R， 记 W = Q(B) = QkBk + Qk−Bk− +⋯ + QB + Q． 因为 Q(λ)− ⋅ Q(λ) = I(n)，所以 RmQ(λ)λm +⋯ + RQ(λ)λ + RQ(λ) = I(n)． 因此 RmWB m +⋯ + RWB + RW = I(n)． (6.5.2) 但是，由于 λI(n) − B = P(λ)(λ(n) − A)Q(λ)，所以