化为三角形-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：化为三角形-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:20

线性代数 李炯生 带目录无背景

§2.5 行列式的计算 给定 n阶行列式 detA，要计算出它的值，如果采用定理 2.2.5所给的行列式表 达式，就必须先计算它的 n!个项 sgn(   ⋯ ni i ⋯ in )aiai⋯anin． 然后相加，才能得到行列式的值．由数学分析中著名的 Stirling公式¬，随着行列式 阶数 n的增加，行列式表达式中项数 n!将以指数形式增加．因此，当阶数 n很大 时，计算量相当大．所以，在计算行列式的值时，往往不用行列式的表达式．而是针 对所给的具体行列式的特点，利用行列式的基本性质，将行列式的值求出来． 在计算行列式时，把高阶行列式化为低阶行列式，是经常采用的途径．把高阶 行列式化为低阶行列式的一个基本方法是对行列式实施行或列的初等变换． 所谓对行列式实施行（列）的初等变换是指 (1) 对换行列式的某两行（列），其它的行（列）保持不动； (2) 行列式的某一行（列）的元素遍乘以某个非零的数再加到另一行（列）； (3) 行列式的某一行（列）的元素遍乘以某个非零的数． 对行列式实施行或列的初等变换的目的是把行列式化成特殊形式的行列式， 使之便于计算．下面通过一些例子来说明计算行列式的基本方法． 一、化为三角形 行列式 detA中从西北角到东南角的对角线叫做主对角线．方阵 A = (a i j)的 元素 a i i位于主对角线上；而当 i < j时，元素 a i j位于主对角线的上侧；当 i > j时， 元素 a i j位于主对角线的下侧．主对角线的一侧的元素全为零的行列式称为三角 形的．对于给定的行列式，可以通过行或列的初等变换化为三角形，然后根据例 2.2.1，三角形的行列式等于主对角元素的乘积．这样便可以求出原行列式的值． 例 2.5.1 求五阶行列式 ∆的值，其中 ∆ = RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR                 −         RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR 解 ∆的第 列分别乘以 −，−，−，−，然后分别加到第 ， ，， 列，得到 ¬ Stirling公式 n! = √ nπ ( n e ) n e θn n，其中 θn ∈ (， )．