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文件名称:可逆矩阵-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:42
线性代数 李炯生 带目录无背景
§3.3 可逆矩阵
在通常数的乘法中,对非零的数 a,总存在数 b,使得 ab = = ba,数 b即是数 a
的倒数,记为 a−.利用倒数概念,数的除法就可以归结为数的乘法,即 a ÷ b = ab−,
其中 b ≠ .在考察 n阶方阵中是否可以引进除法时,自然应当把倒数概念推广.
定义 3.3.1 给定矩阵 A,如果存在矩阵 B,使得
AB = I = BA,
其中 I是单位方阵.则矩阵 A称为可逆的,而 B称为矩阵 A的逆矩阵,记为 A−.
由定义容易看出,可逆矩阵一定是方阵.长方矩阵一定不可逆.但是,并不是
所有方阵都可逆.
定理 3.3.1 n阶方阵 A ∈ F n×n可逆的充分必要条件是它的行列式不为零.
证明 必要性 设 n阶方阵 A可逆,则存在 n阶方阵 B,使得 AB = BA = I(n),
两端取行列式,得到 detAdetB = ,因此 detA ≠ .
充分性 设 A = (a i j),且 detA ≠ .记行列式 detA的元素 a i j的代数余子式为
A i j.取 n阶方阵 A∗为
A∗ =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
A A ⋯ An
A A ⋯ An
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
An An ⋯ Ann
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
.
由定理 2.3.2, n
∑
j=
a i jAk j = δ i k detA.
因此,
AA∗ = diag(detA,detA, . . . ,detA
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
n个
) = (detA)I(n).
因为 detA ≠ ,所以
A(
detA
A∗) = I(n).
同理可证
(
detA
A∗)A = I(n).
根据可逆方阵的定义,矩阵 A可逆,并且
A− =
detA
A∗. (3.3.1)
∎
定理 3.3.1的证明中出现的 n阶方阵 A∗称为方阵 A的伴随方阵 (adjoint ma-
trix).由此不难看出,如果 A ∈ F n×n,则 A∗ ∈ F n×n,从而 A− ∈ F n×n.容易证明,对任
意 n阶方阵 A和 B,均有