可逆矩阵-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：可逆矩阵-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:22

线性代数 李炯生 带目录无背景

§3.3 可逆矩阵 在通常数的乘法中，对非零的数 a，总存在数 b，使得 ab =  = ba，数 b即是数 a 的倒数，记为 a−．利用倒数概念，数的除法就可以归结为数的乘法，即 a ÷ b = ab−， 其中 b ≠ ．在考察 n阶方阵中是否可以引进除法时，自然应当把倒数概念推广． 定义 3.3.1 给定矩阵 A，如果存在矩阵 B，使得 AB = I = BA， 其中 I是单位方阵．则矩阵 A称为可逆的，而 B称为矩阵 A的逆矩阵，记为 A−． 由定义容易看出，可逆矩阵一定是方阵．长方矩阵一定不可逆．但是，并不是 所有方阵都可逆． 定理 3.3.1 n阶方阵 A ∈ F n×n可逆的充分必要条件是它的行列式不为零． 证明 必要性 设 n阶方阵 A可逆，则存在 n阶方阵 B，使得 AB = BA = I(n)， 两端取行列式，得到 detAdetB = ，因此 detA ≠ ． 充分性 设 A = (a i j)，且 detA ≠ ．记行列式 detA的元素 a i j的代数余子式为 A i j．取 n阶方阵 A∗为 A∗ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ A A ⋯ An A A ⋯ An ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ An An ⋯ Ann ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ ． 由定理 2.3.2， n ∑ j= a i jAk j = δ i k detA． 因此， AA∗ = diag(detA，detA， . . . ，detA ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ n个 ) = (detA)I(n)． 因为 detA ≠ ，所以 A(  detA A∗) = I(n)． 同理可证 (  detA A∗)A = I(n)． 根据可逆方阵的定义，矩阵 A可逆，并且 A− =  detA A∗． (3.3.1) ∎ 定理 3.3.1的证明中出现的 n阶方阵 A∗称为方阵 A的伴随方阵 (adjoint ma- trix)．由此不难看出，如果 A ∈ F n×n，则 A∗ ∈ F n×n，从而 A− ∈ F n×n．容易证明，对任 意 n阶方阵 A和 B，均有