矩阵的广义逆-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：矩阵的广义逆-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2021-06-15 06:26:43
线性代数 李炯生 带目录无背景 §3.7 矩阵的广义逆 大家知道，逆矩阵只对方阵有定义，而且即便是方阵，也不是每个方阵都可逆． 本节的目的是推广逆矩阵概念为广义逆，使得每个矩阵都有广义逆． 设给定 A ∈ Fm×n，未知矩阵 X = (x i j) ∈ F n×m，其中众 x i j是未知的．考虑矩阵方 程 AXA = A (3.7.1) 的解． 定理 3.7.1 矩阵方程 (3.7.1)恒有解．具体地说，设 rankA = r， 而且 A = P( I(r)    ) m×n Q， (3.7.2) 其中 P和 Q分别是取定的m阶和 n阶可逆矩阵．则矩阵方程 (3.7.1)的通解为 X = Q−( I(r) B C D ) n×m P−， (3.7.3) 其中 B ∈ Fm×(m−r)，C ∈ F (n−r)×r和 D ∈ F (n−r)×(m−r)是任意的． 证明 把形如 (3.7.3)的矩阵 X代入矩阵方程 (3.7.1)，即可验证，形如 (3.7.3)的 矩阵 X的确是矩阵方程 (3.7.1)的解．反之，设矩阵 X是矩阵方程 (3.7.1)的解，则由 (3.7.2) P( I(r)    )QXP( I(r)    )Q = P( I(r)    )Q． 因为方阵 P和 Q可逆，所以， ( I(r)    )QXP( I(r)    ) = ( I(r)    )． 记