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文件名称:矩阵的广义逆-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:43
线性代数 李炯生 带目录无背景
§3.7 矩阵的广义逆
大家知道,逆矩阵只对方阵有定义,而且即便是方阵,也不是每个方阵都可逆.
本节的目的是推广逆矩阵概念为广义逆,使得每个矩阵都有广义逆.
设给定 A ∈ Fm×n,未知矩阵 X = (x i j) ∈ F n×m,其中众 x i j是未知的.考虑矩阵方
程
AXA = A (3.7.1)
的解.
定理 3.7.1 矩阵方程 (3.7.1)恒有解.具体地说,设
rankA = r,
而且
A = P(
I(r)
)
m×n
Q, (3.7.2)
其中 P和 Q分别是取定的m阶和 n阶可逆矩阵.则矩阵方程 (3.7.1)的通解为
X = Q−(
I(r) B
C D
)
n×m
P−, (3.7.3)
其中 B ∈ Fm×(m−r),C ∈ F (n−r)×r和 D ∈ F (n−r)×(m−r)是任意的.
证明 把形如 (3.7.3)的矩阵 X代入矩阵方程 (3.7.1),即可验证,形如 (3.7.3)的
矩阵 X的确是矩阵方程 (3.7.1)的解.反之,设矩阵 X是矩阵方程 (3.7.1)的解,则由
(3.7.2)
P(
I(r)
)QXP(
I(r)
)Q = P(
I(r)
)Q.
因为方阵 P和 Q可逆,所以,
(
I(r)
)QXP(
I(r)
) = (
I(r)
).
记