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文件名称:基与矩阵表示-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:55
线性代数 李炯生 带目录无背景
A2.1 基与矩阵表示
关于向量空间有以下这些常规、常用的定义.
1. S是数域 F上的向量空间V的子集,如果将V的加法与 F对V的数乘限制
在 S上,S也成为一个向量空间,则称 S为 V 的子空间.
2. 若 V, . . . ,Vn是域 F 上的向量空间,令
V = {(v, . . . , vn) ∣ v i ∈ Vi , i = , . . . , n},
且在其上定义加法
(u, . . . ,un) + (v, . . . , vn) = (u + v, . . . ,un + vn),
F 对 V 的数乘为
r(v, . . . , vn) = (rv, . . . , rvn),
这里 r ∈ F,则 V 成为一个向量空间,称为向量空间 V, . . . ,Vn的直和 (direct sum),
记作
V = V ⊕⋯⊕ Vn.
若 S是向量空间 V 的一个子空间,且有子空间 T,使得 V = S ⊕ T,则称 T为 S
的补 (complement),记作 S c.可证 V 的任一子空间一定有补.
3. 向量空间 V 中的一个非空子集 S称为线性无关 (linearly independent),如
果由
rv +⋯ + rnvn =
可导出 r = ⋯ = rn = ,这里 v i ∈ S,r i ∈ F.
V 中一个子集如果不是线性无关,则称其为线性相关 (linearly dependent).
4. 向量空间 V 的一个集合 T称为生成 (span) V,如果 V 中的每个向量可以写
成 T中的一些向量的线性组合,即对每个 v ∈ V,可以写成
v = ru +⋯ + rmum,