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文件名称：基与矩阵表示-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2021-06-15 06:26:55
线性代数 李炯生 带目录无背景
A2.1 基与矩阵表示
关于向量空间有以下这些常规、常用的定义．
1. S是数域 F上的向量空间V的子集，如果将V的加法与 F对V的数乘限制
在 S上，S也成为一个向量空间，则称 S为 V 的子空间．
2. 若 V， . . . ，Vn是域 F 上的向量空间，令
V = {(v， . . . ， vn) ∣ v i ∈ Vi ， i = ， . . . ， n}，
且在其上定义加法
(u， . . . ，un) + (v， . . . ， vn) = (u + v， . . . ，un + vn)，
F 对 V 的数乘为
r(v， . . . ， vn) = (rv， . . . ， rvn)，
这里 r ∈ F，则 V 成为一个向量空间，称为向量空间 V， . . . ，Vn的直和 (direct sum)，
记作
V = V ⊕⋯⊕ Vn．
若 S是向量空间 V 的一个子空间，且有子空间 T，使得 V = S ⊕ T，则称 T为 S
的补 (complement)，记作 S c．可证 V 的任一子空间一定有补．
3. 向量空间 V 中的一个非空子集 S称为线性无关 (linearly independent)，如
果由
rv +⋯ + rnvn =
可导出 r = ⋯ = rn = ，这里 v i ∈ S，r i ∈ F．
V 中一个子集如果不是线性无关，则称其为线性相关 (linearly dependent)．
4. 向量空间 V 的一个集合 T称为生成 (span) V，如果 V 中的每个向量可以写
成 T中的一些向量的线性组合，即对每个 v ∈ V，可以写成
v = ru +⋯ + rmum，