文件名称：线性变换的矩阵表示-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:36
线性代数 李炯生 带目录无背景
A3.1 线性变换的矩阵表示 设 V ，W分别是域 F 上的 n维与m维向量空间．在这一节中要证明每个 τ ∈ L(V ，W)都与Mm，n(F)中的一个矩阵相对应，这就是 τ在Mm，n(F)中的矩阵 表示．不但如此，还要证明：L(V ，W)与Mm，n(F)是同构的．故对L(V ，W)的讨 论就是对Mm，n(V ，W)的讨论． 设 τ ∈L(V ，W)，B = (b， . . . ， bn)与C = (c， . . . ， cm)分别是 V与W的基，则向 量 v ∈ V 在基B下的坐标为 [v]B = (r， . . . ， rn)T，τ(v)在基 C下的坐标为 [τ(v)]C = (s， . . . ， sm)T．于是对应于 τ，在 F n与 Fm之间有一线性变换 τA∶ [v]B → [τ(v)]C， τA ∈ L(F n，Fm)，即对应于 τ，有一m × n矩阵 A，使得 [τ(v)]C = A[v]B． 现在来确定A，记A= (A， . . . ，An)，这里A i为列向量．取 v = b i，则立得A i = [τ(b i)]C， 故 A = ([τ(b)]C ， . . . ， [τ(bn)]C)． 记 A = [τ]B，C，于是 [τ(v)]C = [τ]B，C[v]B． [τ]B，C 即为当 V 的基为B，W的基为 C 时，τ的矩阵表示．于是可以定义映射 ϕ∶ L(V ，W) Ð→ Mm，n(F)， τ z→ [τ]B，C． 现在来证明这是一个同构映射． 先证 ϕ为线性映射．事实上若 s， t ∈ F，σ ， τ ∈ L(V ，W)，则 [(sσ + tτ)(b i)]C = [sσ(b i) + tτ(b i)]C = s[σ(b i)]C + t[τ(b i)]C． 故 ϕ(sσ + tτ) = [sσ + tτ]B，C = s[σ]B，C + t[τ]B，C = sϕ(σ) + tϕ(τ)，