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文件名称:线性变换的矩阵表示-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:56
线性代数 李炯生 带目录无背景
A3.1 线性变换的矩阵表示
设 V ,W分别是域 F 上的 n维与m维向量空间.在这一节中要证明每个
τ ∈ L(V ,W)都与Mm,n(F)中的一个矩阵相对应,这就是 τ在Mm,n(F)中的矩阵
表示.不但如此,还要证明:L(V ,W)与Mm,n(F)是同构的.故对L(V ,W)的讨
论就是对Mm,n(V ,W)的讨论.
设 τ ∈L(V ,W),B = (b, . . . , bn)与C = (c, . . . , cm)分别是 V与W的基,则向
量 v ∈ V 在基B下的坐标为 [v]B = (r, . . . , rn)T,τ(v)在基 C下的坐标为 [τ(v)]C =
(s, . . . , sm)T.于是对应于 τ,在 F n与 Fm之间有一线性变换 τA∶ [v]B → [τ(v)]C,
τA ∈ L(F n,Fm),即对应于 τ,有一m × n矩阵 A,使得
[τ(v)]C = A[v]B.
现在来确定A,记A= (A, . . . ,An),这里A i为列向量.取 v = b i,则立得A i = [τ(b i)]C,
故
A = ([τ(b)]C , . . . , [τ(bn)]C).
记 A = [τ]B,C,于是
[τ(v)]C = [τ]B,C[v]B.
[τ]B,C 即为当 V 的基为B,W的基为 C 时,τ的矩阵表示.于是可以定义映射
ϕ∶
L(V ,W) Ð→ Mm,n(F),
τ z→ [τ]B,C.
现在来证明这是一个同构映射.
先证 ϕ为线性映射.事实上若 s, t ∈ F,σ , τ ∈ L(V ,W),则
[(sσ + tτ)(b i)]C = [sσ(b i) + tτ(b i)]C = s[σ(b i)]C + t[τ(b i)]C.
故
ϕ(sσ + tτ) = [sσ + tτ]B,C = s[σ]B,C + t[τ]B,C = sϕ(σ) + tϕ(τ),