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文件名称:基与坐标-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:43
线性代数 李炯生 带目录无背景
§4.3 基与坐标
大家知道,在解析几何里,如果在三维实向量空间R中建立直角坐标系,则
三个坐标轴上的单位向量分别为 ε = (, , ),ε = (, , ),ε = (, , ).如果存
在实数 λ, λ, λ使得 λε + λε + λε = ,则可得到 λ = λ = λ = .这表明,向量
ε, ε, ε线性无关.另一方面,由于对任意 α ∈ R,在这个坐标系下向量 α的坐标为
(a, a, a),故
α = (a, a, a) = aε + aε + aε.
因此,向量空间R中任意一个向量 α都可由向量 ε, ε, ε线性表出.于是,用线性
空间语言讲,所谓在空间R中设立坐标系,相当于在R中选取一组线性无关的向
量,使得R中任意向量都可由它们线性表出.
把空间R中坐标系的概念推广到线性空间,便引出线性空间的基概念.
定义 4.3.1 设 S是数域 F上的线性空间V的向量集合.如果向量集合 S线性
无关,而且 V 中每个向量都可由向量集合 S线性表出,则向量集合 S称为线性空间
V 的一组基,S中的向量称为基向量.
如果线性空间 V的基 S由有限多个基向量组成,则线性空间V称为有限维的.
不是有限维的线性空间称为无限维的.
注 如果数域 F 上的线性空间 V 只含一个向量,则由线性空间的定义,V 由
零向量组成,即 V = {}.此时,称 V = {}为零维线性空间.上述定义中数域 F 上
的线性空间是指非零维的.
定理 4.3.1 设数域 F 上的有限维线性空间 V 具有一组基 {α, α, . . . , αn},
n ⩾ .则 V 中任意一个线性无关向量集合 S都是有限的,并且 S所含向量的数目
不超过 n.
证明 设线性无关向量集合 S至少含有 n + 个向量 β, β, . . . , βn+.
由结论 4.2.3,向量 β, β, . . . , βn+线性无关.由基的定义,向量 β, β, . . . , βn+
可由向量 α, α, . . . , αn线性表出.由 Steinitz替换定理,n + ⩽ n,不可能.因此,向
量集合 S至多含有 n个向量. ∎
由定理 4.3.1立即得到,