基与坐标-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：基与坐标-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:23

线性代数 李炯生 带目录无背景

§4.3 基与坐标 大家知道，在解析几何里，如果在三维实向量空间R中建立直角坐标系，则 三个坐标轴上的单位向量分别为 ε = (， ， )，ε = (， ， )，ε = (， ， )．如果存 在实数 λ， λ， λ使得 λε + λε + λε = ，则可得到 λ = λ = λ = ．这表明，向量 ε， ε， ε线性无关．另一方面，由于对任意 α ∈ R，在这个坐标系下向量 α的坐标为 (a， a， a)，故 α = (a， a， a) = aε + aε + aε． 因此，向量空间R中任意一个向量 α都可由向量 ε， ε， ε线性表出．于是，用线性 空间语言讲，所谓在空间R中设立坐标系，相当于在R中选取一组线性无关的向 量，使得R中任意向量都可由它们线性表出． 把空间R中坐标系的概念推广到线性空间，便引出线性空间的基概念． 定义 4.3.1 设 S是数域 F上的线性空间V的向量集合．如果向量集合 S线性 无关，而且 V 中每个向量都可由向量集合 S线性表出，则向量集合 S称为线性空间 V 的一组基，S中的向量称为基向量． 如果线性空间 V的基 S由有限多个基向量组成，则线性空间V称为有限维的． 不是有限维的线性空间称为无限维的． 注 如果数域 F 上的线性空间 V 只含一个向量，则由线性空间的定义，V 由 零向量组成，即 V = {}．此时，称 V = {}为零维线性空间．上述定义中数域 F 上 的线性空间是指非零维的． 定理 4.3.1 设数域 F 上的有限维线性空间 V 具有一组基 {α， α， . . . ， αn}， n ⩾ ．则 V 中任意一个线性无关向量集合 S都是有限的，并且 S所含向量的数目 不超过 n． 证明 设线性无关向量集合 S至少含有 n + 个向量 β， β， . . . ， βn+． 由结论 4.2.3，向量 β， β， . . . ， βn+线性无关．由基的定义，向量 β， β， . . . ， βn+ 可由向量 α， α， . . . ， αn线性表出．由 Steinitz替换定理，n +  ⩽ n，不可能．因此，向 量集合 S至多含有 n个向量． ∎ 由定理 4.3.1立即得到，