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文件名称:双线性形式-ibm_知识管理白皮书
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更新时间:2021-06-15 06:26:55
线性代数 李炯生 带目录无背景
A2.3 双线性形式
在上一节中,讨论了向量空间上最简单的一类函数——线性函数,即线性泛
函,对有限维向量空间证明了它的对偶空间的对偶空间同构于它自己.还定义与
讨论了对偶空间中一类重要的子空间——零化子空间,这在今后十分有用.
1. 讨论了线性函数,顺理成章的是讨论向量空间上的双线性形式及二次型.
在这一节中,讨论的向量空间全是有限维的.
定义 A2.3.1 若 V 是域 F 上的向量空间,映射 ⟨ , ⟩∶V → V 称为双线性形式
(bilinear form),若其对每个坐标而言都是线性函数,即对任意 α, β ∈ F,x, y, z ∈ V
有
⟨αx + βy, z⟩ = α⟨x, z⟩ + β⟨y, z⟩
及
⟨z, αx + βy⟩ = α⟨z, x⟩ + β⟨z, y⟩.
特别的,⟨x, x⟩,x ∈ V 称为 V 上的二次型 (quadratic form).
如果对任意 x, y ∈ V,有
⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩,
则称 ⟨ , ⟩为对称 (symmetric)的双线性形式.
如果对任意 x, y ∈ V,有
⟨x, y⟩ = −⟨y, x⟩,
则称 ⟨ , ⟩为斜对称 (skew-symmetric)的双线性形式.