共轭双线性函数与Hermite型-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2021-06-15 06:26:53
线性代数 李炯生 带目录无背景 §9.4 共轭双线性函数与Hermite型 本节将推广双线性函数的概念． 定义 9.4.1 设 f (α， β)是 n维复线性空间 V 上的二元函数．如果对任意向量 α， β， α， α， β， β ∈ V，以及任意复数 λ， λ， µ， µ ∈ C，均有 f (λα + λα， β) = λ f (α， β) + λ f (α， β) (9.4.1) f (α， µβ + µβ) = µ f (α， β) + µ f (α， β) (9.4.2) 其中 µ表示复数 µ的共轭复数，则二元函数 f (α， β)称为共轭双线性的． 容易看出，V 上的共轭双线性函数 f (α， β)具有如下性质． 命题 9.4.1 设 f (α， β)是 V 上的共轭双线性函数，则对任意 α， β ∈ V， f (α， ) =  = f (， β)． 命题 9.4.2 设 f (α， β)是 V 上的共轭双线性函数，则对任意 α， . . . ， αp， β， . . . ， βq ∈ V，λ， . . . ， λp， µ， . . . ， µq ∈ C， f ( p ∑ k= λkαk， q ∑ ℓ= µℓβℓ) = p ∑ k= q ∑ ℓ= λkµℓ f (αk， βℓ)． (9.4.3) 现在给出 V 上的共轭双线性函数 f (α， β)在 V 的基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}下的方阵 表示．设向量 α， β ∈ V 在 V 的基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}下的坐标分别是 x = (x， x， . . . ， xn) 与 y = (y， y， . . . ， yn)， 即 α = n ∑ k= xk ξk， β = n ∑ ℓ= yℓ ξℓ． 则由式 (9.4.3)， f (α， β) = f ( n ∑ k= xk ξk， n ∑ ℓ= yℓ ξℓ) = ∑ ⩽k，ℓ⩽n xk yℓ f (ξk， ξℓ)． (9.4.4) 记 n阶方阵 A = ( f (ξk， ξℓ))n×n，则上式化为 f (α， β) = xAy∗， (9.4.5) 其中 y∗ = yT是 y = (y， y， . . . ， yn)的共轭转置． 方阵 A称为共轭双线性函数 f (α， β)在基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}下的方阵．而式 (9.4.4)称为 f (α， β)在基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}下的表达式． 显然，不同的共轭双线性函数在基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}下的方阵是不同的． 反之，设 A是 n阶复方阵，则令 f (α， β) = xAy∗， 其中 x与 y分别是向量 α， β在基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}下的坐标．