对称双线性函数与二次型-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2021-06-15 06:26:52
线性代数 李炯生 带目录无背景 §9.2 对称双线性函数与二次型 设 V 是数域 F 上的 n维线性空间，S(V ，V ，F)是 V 上所有对称双线性函数的 集合． 定理 9.2.1 集合 S(V ，V ，F)与数域 F 上所有 n阶对称方阵集合 S(n，F)之间 存在一个一一对应． 证明 设 {ξ， ξ， . . . ， ξn}是 V 的一组基，f (α， β) ∈ S(V ，V ，F)在这组基下的方 阵为 S = ( f (ξ i ， ξ j)) = (s i j)． 由于 f (α， β) ∈ S(V ，V ，F)，所以 f (ξ j， ξ i) = f (ξ i ， ξ j)，即 ST = S，S ∈ S(n，F)． 建立集合 S(V ，V ，F)到 S(n，F)的映射 σ如下：对于 f (α， β) ∈ S(V ，V ，F)，令 σ( f ) = S， 其中 S是双线性函数 f (α， β)在基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}下的方阵． 由于不同的双线性函数在同一组基下的方阵是不同的，所以 σ是单射． 设 S ∈ S(n，F)．定义 V 上二元函数 f (α， β)为 f (α， β) = xSyT， 其中 x = (x， x， . . . ， xn)与 y = (y， y， . . . ， yn)分别是 V 中向量 α与 β在基 (ξ， ξ， . . . ， ξn)下的坐标． 由定理 9.1.1的证明，f (α， β)是 V 上的双线性函数．由于 f (β， α) = ySxT = (xSyT)T = xSyT = f (α， β)， 其中 α， β ∈ V，所以 f (α， β)是对称的，即 f (α， β) ∈ S(V ，V ，F)． 显然方阵 S是双线性函数 f (α， β)在基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}下的方阵．因此由映射