【文件属性】:
文件名称:斜对称双线性函数-ibm_知识管理白皮书
文件大小:3.19MB
文件格式:PDF
更新时间:2021-06-15 06:26:53
线性代数 李炯生 带目录无背景
§9.3 斜对称双线性函数
本节讨论数域 F 上的 n维线性空间 V 的斜对称双线性函数.
容易证明,对于斜对称双线性函数,下述命题成立.
命题 9.3.1 数域 F 上的 n维线性空间 V 的双线性函数 f (α, β)为斜对称的充
分必要条件是,对任意向量 α ∈ V,f (α, α) = .
命题 9.3.2 数域 F 上的 n维线性空间 V 的双线性函数 f (α, β)为斜对称的充
分必要条件是,f (α, β)在 V 的基下的方阵是斜对称的.
命题 9.3.3 设 f (α, β)是数域 F 上的 n维线性空间 V 的斜对称双线性函数,
则 V 中向量关于 f (α, β)的正交性是对称的.
命题 9.3.4 数域 F上的 n维线性空间 V 的所有斜对称双线性函数集合
记为 K(V ,V ,F),数域 F 上的所有 n阶斜对称方阵集合记为 K(n,F).则集合
K(V ,V ,F)与 K(n,F)之间存在双射.
命题 9.3.3是定理 9.1.6的直接结论.其它几个命题的证明留给读者作练习.
定理 9.3.1 设 f (α, β)是数域 F 上的 n维线性空间 V 的斜对称双线性函数,
则存在 V 的基 {ξ, ξ, . . . , ξn},使得 f (α, β)在这组基下的方阵是如下的准对角形:
diag
⎛
⎝
(
−
), . . . ,(
−
), , , . . . ,
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
n−s个
⎞
⎠
,
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
s个
(9.3.1)
其中 rank f = s.换句话说,
f (α, β) = (xy − xy) +⋯ + (xs−ys − xs ys−), (9.3.2)
其中 x = (x, . . . , xn)与 y = (y, . . . , yn)分别是 V 中向量 α与 β在这组基下的坐标.
证明 对空间 V 的维数 n用归纳法.当 n = 时结论显然成立.
假设结论对维数小于 n的空间成立.下面证明结论对 n维空间 V 成立.
如果 f (α, β)是零函数,即对任意 α, β ∈ V,f (α, β) = ,则结论显然成立.因此
可设存在向量 η, ζ ∈ V,使得 f (η, ζ) = b ≠ .
记 ξ = η,ξ = b−ζ,且
f (ξ, ξ) = f (ξ, ξ) = , f (ξ, ξ) = .
如果存在数 a, a ∈ F,使得 aξ + aξ = ,则
f (ξ, aξ + aξ) = a f (ξ, ξ) = .
因此 a = .同理可证 a = .于是向量 ξ, ξ线性无关.所以V中由向量 ξ与
ξ生成的子空间W是 维的.