斜对称双线性函数-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：斜对称双线性函数-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:33

线性代数 李炯生 带目录无背景

§9.3 斜对称双线性函数 本节讨论数域 F 上的 n维线性空间 V 的斜对称双线性函数． 容易证明，对于斜对称双线性函数，下述命题成立． 命题 9.3.1 数域 F 上的 n维线性空间 V 的双线性函数 f (α， β)为斜对称的充 分必要条件是，对任意向量 α ∈ V，f (α， α) = ． 命题 9.3.2 数域 F 上的 n维线性空间 V 的双线性函数 f (α， β)为斜对称的充 分必要条件是，f (α， β)在 V 的基下的方阵是斜对称的． 命题 9.3.3 设 f (α， β)是数域 F 上的 n维线性空间 V 的斜对称双线性函数， 则 V 中向量关于 f (α， β)的正交性是对称的． 命题 9.3.4 数域 F上的 n维线性空间 V 的所有斜对称双线性函数集合 记为 K(V ，V ，F)，数域 F 上的所有 n阶斜对称方阵集合记为 K(n，F)．则集合 K(V ，V ，F)与 K(n，F)之间存在双射． 命题 9.3.3是定理 9.1.6的直接结论．其它几个命题的证明留给读者作练习． 定理 9.3.1 设 f (α， β)是数域 F 上的 n维线性空间 V 的斜对称双线性函数， 则存在 V 的基 {ξ， ξ， . . . ， ξn}，使得 f (α， β)在这组基下的方阵是如下的准对角形： diag ⎛ ⎝ (   −  )， . . . ，(   −  )， ， ， . . . ，  ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ n−s个 ⎞ ⎠ ， ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ s个 (9.3.1) 其中 rank f = s．换句话说， f (α， β) = (xy − xy) +⋯ + (xs−ys − xs ys−)， (9.3.2) 其中 x = (x， . . . ， xn)与 y = (y， . . . ， yn)分别是 V 中向量 α与 β在这组基下的坐标． 证明 对空间 V 的维数 n用归纳法．当 n = 时结论显然成立． 假设结论对维数小于 n的空间成立．下面证明结论对 n维空间 V 成立． 如果 f (α， β)是零函数，即对任意 α， β ∈ V，f (α， β) = ，则结论显然成立．因此 可设存在向量 η， ζ ∈ V，使得 f (η， ζ) = b ≠ ． 记 ξ = η，ξ = b−ζ，且 f (ξ， ξ) = f (ξ， ξ) = ， f (ξ， ξ) = ． 如果存在数 a， a ∈ F，使得 aξ + aξ = ，则 f (ξ， aξ + aξ) = a f (ξ， ξ) = ． 因此 a = ．同理可证 a = ．于是向量 ξ， ξ线性无关．所以V中由向量 ξ与 ξ生成的子空间W是 维的．