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文件名称：内积空间-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2021-06-15 06:26:56
线性代数 李炯生 带目录无背景
A2.4 内积空间
当域 F 为实数域R或复数域C时，还有重要的内积空间．
定义 A2.4.1 若 V 是域 F上的向量空间，这里 F 是实数域R或复数域C，若
存在映射 ⟨ ， ⟩∶V × V → F 满足
(1)正定性 (positive de niteness) 对所有 v ∈ V 有
⟨v， v⟩ ⩾ ．
而 ⟨v， v⟩ = ，当且仅当 v = ；
(2)共轭对称（Hermite对称）性或对称性 当 F = C时，有
⟨v， v⟩ = ⟨v， v⟩．
当 F = R时，有
⟨v， v⟩ = ⟨v， v⟩；
(3)第一坐标是线性 对所有的 u， v，w ∈ V 及 r， s ∈ F，有
⟨ru + sv，w⟩ = r⟨u，w⟩ + s⟨v，w⟩，
则称 ⟨ ， ⟩为 V 上的内积 (inner product)，有内积的向量空间称为内积空间 (inner
product space)．
当 F 为R时，称内积空间为实欧几里得空间 (Euclidean space)，显然这是一个
正定的对称非奇异的度量空间．
当 F 为C时，称内积空间为复欧几里得空间，也称酉空间 (unitary space)．此
时，由定义A2.4.1之条件 (2)和 (3)可得：对所有 u， v，w ∈ V 及 r， s ∈ F，有
⟨w， ru + sv⟩ = r⟨w，u⟩ + s⟨w， v⟩，
称为共轭线性 (conjugate linearity)．因此，此时 ⟨ ， ⟩不是双线性形式，故 (V ， ⟨ ， ⟩)不
是度量向量空间．
若 v ∈ V，称
∥v∥ =
√
⟨v， v⟩
为向量 v的长度 (length)或范数 (norm)．
若 u， v ∈ V，称
∥u − v∥
为向量 u， v之间的距离 (distance)，记作 d(u， v)．有了距离的概念，就可以在 V 上
定义向量序列的收敛，集合的并、开、闭包、邻域、完备性以及连续等概念．还可
以有：
(1) Cauchy不等式 对所有 u， v ∈ V，有
∣⟨u， v⟩∣ ⩽ ∥u∥∥v∥；