不变子空间-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：不变子空间-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2021-06-15 06:26:45
线性代数 李炯生 带目录无背景 §5.6 不变子空间 给定线性变换A ∶V → V．容易验证，如果U是 V 的子空间，则 A (U) = {A (α) ∣ α ∈ U} 是V的子空间．记V的所有子空间集合记为 S．定义映射 ηA ∶ S→ S如下：设U ∈ S， 则令 ηA (U) = A (U)． 映射 ηA 称为由线性变换A 诱导的映射． 值得关心的是这样的子空间，U它在映射 ηA 下仍映回到U，即 ηA (U) = A (U) ⊆ U． 定义 5.6.1 设A ∶V → V是线性变换，U是V的子空间．如果对任意 α ∈ U，均 有A (α) ∈ U，即A (U) ⊆ U，则U称为线性变换A 的不变子空间． 显然，对线性空间 V 自身，A (V) ⊆ V．因此 V 是线性变换A 的不变子空间． 同样，对V的零子空间 ，A () = ，因此零子空间 是线性变换A 的子空间．它们 称为A 的平凡不变子空间．除V本身与零子空间外，其它不变子空间称为A 的非 平凡不变子空间． 由于A (V) ⊆ V，故A (A (V)) ⊆A (V)，因此线性变换A 的象 ImA 是A 的不 变子空间．设 α ∈ KerA，则A (α) = ，因此A (A (α)) = ，所以A (α) ∈ KerA．因 此线性变换A 的核KerA 也是 A的不变子空间． 定理 5.6.1 线性变换A 的有限多个不变子空间之和是A 的不变子空间；A 的任意多个不变子空间之交是A 的不变子空间． 证明 设U，U， . . . ，Uk是A 的 k个不变子空间，且 α ∈ U +U + ⋯ + Uk．则 存在 α j ∈ U j，使得 α = α + α +⋯ + αk． 由于U j是A 的不变子空间，因此A (α j) ∈ U j，所以 A (α) = A (α) +A (α) +⋯ +A (αk) ∈ U +U +⋯ +Uk． 因此U +U +⋯ +Uk是A 的不变子空间． 设 I是下标集合，{Uν ∣ ν ∈ I}是 V 的子空间集合，其中每个子空间Uν是A 的 不变子空间．设 α ∈ ⋂ν∈I Uν．则 α ∈ Uν，ν ∈ I．由于Uν是A 的不变子空间，因此 A (α) ∈ Uν，因此A (α) ∈ Uν，ν ∈ I．所以A (α) ∈ ⋂ν∈I Uν．因此⋂ν∈I Uν是A 的不变 子空间． ∎