特征子空间-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：特征子空间-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:26

线性代数 李炯生 带目录无背景

§5.8 特征子空间 本节继续讨论线性变换A ∶V → V 的特征值与特征向量． 定义 5.8.1 设 λ是线性变换A ∶V → V 的特征值．属于 λ的所有特征值以 及零向量构成的集合记为 Vλ，即 Vλ = {α ∈ V ∣ A (α) = λα}． 集合 Vλ 称为属于特征值 λ的特征子空间． 容易验证，特征子空间 Vλ 确实是 V 的子空间．不但如此，还可证明， 定理 5.8.1 特征子空间 Vλ 是线性变换A 的不变子空间． 证明 设 α ∈ Vλ，则A (α) = λα．因此 A (A (α)) = λA (α)， 所以A (α) ∈ Vλ．因此 Vλ 是A 的不变子空间． ∎ 定义 5.8.2 特征子空间 Vλ 的维数m称为线性变换A 的特征值 λ的几何 重数．而A 的特征多项式 ϕ(λ)的根 λ的重数称为特征值 λ的代数重数． 定理 5.8.2 线性变换A 的特征值 λ的几何重数不超过它的代数重数． 证明 设A 的特征值 λ的几何重数为m，即 dimVλ = m，并且 {α， α， . . . ， αm}是Vλ的基，而 {α， . . . ， αm ， αm+， . . . ， αn}为V的基．由于 α j ∈Vλ，故A (α j) = λα j，j = ， ， . . . ，m．所以， A (α， . . . ， αm ， αm+， . . . ， αn) = (α， . . . ， αm ， αm+， . . . ， αn)( A A  A )， 其中 A = λI(m)．因此方阵 A的特征多项式 ϕ(λ) = det(λI(n) − A) = (λ − λ)m det(λI(n−m) − A)． 由于线性变换A 的特征多项式等于方阵 A的特征多项式，所以特征值 λ的几何 重数不超过 λ的代数重数． ∎ 现在假定线性变换A 的全部互异的特征值为 λ， λ， . . . ， λt，它们的代数重数 依次为 e， e， . . . ， et，其中 e j ⩾ ．且 e + e +⋯+ et = n = dimV．即设A 的特征多项 式为 ϕ(λ) = (λ − λ)e(λ − λ)e⋯(λ − λt)e t． 线性变换A 的属于特征值 λ， λ， . . . ， λt的特征子空间依次记为 Vλ ，Vλ ， . . . ，Vλ t． 定理 5.8.3 特征子空间 Vλ ，Vλ ， . . . ，Vλ t 的和 Vλ + Vλ +⋯ + Vλ t 是直和． 证明 设 α ∈ Vλ + Vλ +⋯ + Vλ t，则存在 α j ∈ Vλ j，使得 α = α + α +⋯ + αt．假 设另有 β j ∈ Vλ j，使得 α = β + β +⋯ + βt．记 γ j = α j − β j ∈ Vλ j．则显然有