的子空间-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：的子空间-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:27

线性代数 李炯生 带目录无背景

其中 bα + bA (α)+⋯+ bm−A m−(α) ∈ C．这表明，α ∈ C + Ṽ．因此V = C + Ṽ． 应当指出，V = C + Ṽ并不一定是直和．现在需要求出适合结论 (2)的子空间 V．因为U ∩ (C ∩ Ṽ) = (U ∩ C) ∩ Ṽ，所以由¬可知 U ∩ (C ∩ Ṽ) = ． 因此和U + (C ∩ Ṽ)是直和．由于U ⊆ Ṽ，C ∩ Ṽ ⊆ Ṽ，因此 U ⊕ (C ∩ Ṽ) ⊆ Ṽ． U ⊕ (C ∩ Ṽ)在 Ṽ中的补记为W，即 W ⊕U ⊕ (C ∩ Ṽ) = Ṽ． 记 V =W ⊕U．现在验证 V是A 的不变子空间，并且A ∣V 是幂零的，其幂零 指数m ⩽ m．事实上，设 ξ ∈ V ⊆ Ṽ，则 A (ξ) ∈ U ⊆W ⊕U = V． 所以 V是A 的不变子空间．由于 ξ ∈ V ⊆ V，故A m(ξ) = ．所以A ∣V 是幂零的， 它的幂零指数m ⩽ m． 其次验证，C ∩ V = ．事实上，设 ξ ∈ C ∩ V．由于 C ∩ V ⊆ V ⊆ Ṽ， 所以 ξ ∈ C ∩ Ṽ．而 ξ ∈ V，所以 ξ ∈ V ∩ (C ∩ Ṽ)．由于 Ṽ = V ⊕ (C ∩ Ṽ)， 因此 ξ = ．即 C ∩ V = ． 最后验证，V = C +V．事实上，设 ξ ∈ V．由于 V = C + Ṽ，所以 ξ = η + ζ，其中 η ∈ C，ζ ∈ Ṽ．但 Ṽ = V ⊕ (C ∩ Ṽ)， 故 ζ = ζ + ζ，其中 ζ ∈ V，ζ ∈ (C ∩ Ṽ)．因此 ξ = η + ζ + ζ = (η + ζ) + ζ， 其中 η + ζ ∈ C，ζ ∈ V．即 ξ ∈ C + C，所以 V = C + V． 这就证明，结论 (2)对m次幂零变换A 成立． ∎ 利用定理 6.2.1，并对线性空间 V 的维数用归纳法，即得下面的线性空间 V 分 解为关于幂零变换A 的循环子空间的直和的定理． 定理 6.2.2 设A ∶V → V 是m次幂零变换．则 (1) 存在由非零向量 α， α， . . . ， αk ∈ V 生成的循环子空间 C，C， . . . ，Ck，使得 V = C ⊕ C ⊕⋯⊕ Ck， 并且A ∣ C j 是m j次幂零的，而m = m ⩾ m ⩾ ⋯ ⩾ mk；