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文件名称:的子空间-ibm_知识管理白皮书
文件大小:3.19MB
文件格式:PDF
更新时间:2021-06-15 06:26:47
线性代数 李炯生 带目录无背景
其中 bα + bA (α)+⋯+ bm−A m−(α) ∈ C.这表明,α ∈ C + Ṽ.因此V = C + Ṽ.
应当指出,V = C + Ṽ并不一定是直和.现在需要求出适合结论 (2)的子空间
V.因为U ∩ (C ∩ Ṽ) = (U ∩ C) ∩ Ṽ,所以由¬可知
U ∩ (C ∩ Ṽ) = .
因此和U + (C ∩ Ṽ)是直和.由于U ⊆ Ṽ,C ∩ Ṽ ⊆ Ṽ,因此
U ⊕ (C ∩ Ṽ) ⊆ Ṽ.
U ⊕ (C ∩ Ṽ)在 Ṽ中的补记为W,即
W ⊕U ⊕ (C ∩ Ṽ) = Ṽ.
记 V =W ⊕U.现在验证 V是A 的不变子空间,并且A ∣V 是幂零的,其幂零
指数m ⩽ m.事实上,设 ξ ∈ V ⊆ Ṽ,则
A (ξ) ∈ U ⊆W ⊕U = V.
所以 V是A 的不变子空间.由于 ξ ∈ V ⊆ V,故A m(ξ) = .所以A ∣V 是幂零的,
它的幂零指数m ⩽ m.
其次验证,C ∩ V = .事实上,设 ξ ∈ C ∩ V.由于
C ∩ V ⊆ V ⊆ Ṽ,
所以 ξ ∈ C ∩ Ṽ.而 ξ ∈ V,所以 ξ ∈ V ∩ (C ∩ Ṽ).由于
Ṽ = V ⊕ (C ∩ Ṽ),
因此 ξ = .即 C ∩ V = .
最后验证,V = C +V.事实上,设 ξ ∈ V.由于 V = C + Ṽ,所以 ξ = η + ζ,其中
η ∈ C,ζ ∈ Ṽ.但
Ṽ = V ⊕ (C ∩ Ṽ),
故 ζ = ζ + ζ,其中 ζ ∈ V,ζ ∈ (C ∩ Ṽ).因此
ξ = η + ζ + ζ = (η + ζ) + ζ,
其中 η + ζ ∈ C,ζ ∈ V.即 ξ ∈ C + C,所以 V = C + V.
这就证明,结论 (2)对m次幂零变换A 成立. ∎
利用定理 6.2.1,并对线性空间 V 的维数用归纳法,即得下面的线性空间 V 分
解为关于幂零变换A 的循环子空间的直和的定理.
定理 6.2.2 设A ∶V → V 是m次幂零变换.则
(1) 存在由非零向量 α, α, . . . , αk ∈ V 生成的循环子空间 C,C, . . . ,Ck,使得
V = C ⊕ C ⊕⋯⊕ Ck,
并且A ∣
C j
是m j次幂零的,而m = m ⩾ m ⩾ ⋯ ⩾ mk;