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文件名称：对偶空间-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2021-06-15 06:26:55
线性代数 李炯生 带目录无背景
A2.2 对偶空间
有了线性空间，即向量空间，首先要讨论的是其上最简单的一类函数——线性
函数．
定义 A2.2.1 若 V 是域 F上的向量空间，函数 f ∶V → V 称为 V 上的线性函数
(linear function)或线性泛函 (linear functional)，如果对任意 r， s ∈ F 和 u， v ∈ V 有
f (ru + sv) = r f (u) + s f (v)．
V 上所有线性泛函的全体记为 V∗．若 f ， g ∈ V∗，定义加法为：对任意 v ∈ V，
( f + g)(v) = f (v) + g(v)；
F对 V∗的数乘为：对任意 r ∈ F，v ∈ V，
(r f )(v) = r f (v)．
易见这样定义了加法与数乘之后，V∗也是一个向量空间，这时称其为 V 的对
偶空间 (dual space)．
设 V 是一个 n维向量空间，B = {v， . . . ， vn}是 V 的一组基．对每个 v i，可以定
义一个线性泛函 v∗i ∈ V
∗，使得
v∗i (v j) = δ i j， (A2.2.1)
这里 δ i j是Kronecker函数．易证B∗ = {v∗ ， . . . ， v
∗
n}是 V
∗的一组基，这时称B∗为
B的对偶基 (dual basis)．由此立即可以得到
dimV = dimV∗．
由于V∗也是向量空间，故V∗有对偶空间V∗∗ = (V∗)∗．若V是有限维向量空