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文件名称：线性映射-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2021-06-15 06:26:44
线性代数 李炯生 带目录无背景
§5.2 线性映射
设U和 V 是数域 F 上的线性空间，且A ∶U → V 是映射．
定义 5.2.1 如果映射A ∶U → V 满足：
LM (1) 对任意 α， α ∈ U，
A (α + α) = A (α) +A (α)；
LM (2) 对任意 λ ∈ F，α ∈ U，
A (λα) = λA (α)，
则映射A 称为线性空间U到 V 的线性映射．
例 5.2.1 设 V 是属于 F 上的 n维线性空间，{α， α， . . . ， αn}是U的基，α ∈ U
在基 {α， α， . . . ， αn}下的坐标为 (a， a， . . . ， an)T．定义U到数域 F 上 n维列向量
空间 F n的映射A 如下：
A (α) = (a， a， . . . ， an)T．
则映射A ∶U → F n是线性映射．
证明 设 α， β ∈ U在基 {α， α， . . . ， αn}下的坐标分别为 (a， a， . . . ， an)T，(b，
b， . . . ， bn)T，则
A (α) = (a， a， . . . ， an)T， A (β) = (b， b， . . . ， bn)T．
显然，α + β与 λα的坐标分别为 (a + b， a + b， . . . ， an + bn)T与 (λa， λa， . . . ，
λan)T，其中 λ ∈ F．因此
A (α + β) = (a + b， a + b， . . . ， an + bn)T
= (a， a， . . . ， an)T + (b， b， . . . ， bn)T
= A (α) +A (β)，
A (λα) = (λa， λa， . . . ， λan)T = λ(a， a， . . . ， an)T
= λA (α)．
因此映射A ∶U → F n满足 LM (1)与 LM (2)．所以映射A ∶U → F n是线性的． ∎
例 5.2.2 设 F 是数域 F n上 n维行向量空间，且正整数m < n．定义映射
A ∶F n → Fm如下：设 x = (x， x， . . . ， xn) ∈ F n，则令
A (x) = (x， x， . . . ， xm)．
容易验证，映射A ∶Fm → Fm是线性的，它称为 F n到 Fm上的投影变换．
例 5.2.3 设 V 是数域 F 上线性空间，U与W是 V 的子空间，且 V = U ⊕W．
定义映射A ∶V → U如下：设 α ∈ V，则存在唯一一对向量 β与 γ，β ∈ U，γ ∈W，使得
α = β + γ，令A (α) = β．容易验证，映射A ∶V → U是线性的，它称为线性空间 V 到