线性相关-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:23

线性代数 李炯生 带目录无背景

§4.2 线性相关 从解析几何可以知道，在三维实向量空间R中，向量 α和 β共线的充分必要 条件是，存在不全为零的实数 λ和 µ，使得 λα + µβ = ；向量 α， β， γ共面的充分必 要条件是，存在不全为零的实数 λ， µ和 ν，使得 λα + µβ + νγ = ．三维实向量空间 R中向量之间的这种共线、共面关系，推广到数域 F 上的线性空间 V，就是向量间 的线性相关性． 定义 4.2.1 设 V 是数域 F上的线性空间，S ⊆ V．如果存在向量 α， α， . . . ， αk ∈ S，和不全为零的纯量 λ， λ， . . . ， λk ∈ F 使得 λα + λα +⋯ + λkαk = ， 则向量集合 S称为线性相关的． 特别，当向量集合 S由有限个向量 α， α， . . . ， αk组成时，也称向量 α， α， . . . ， αk线性相关．不是线性相关的向量集合 S称为线性无关的． 例 4.2.1 复向量空间C中任意两个向量都是线性相关的． 证明 设 α， β ∈ C．如果 α = β = ，则取 λ = µ =  ∈ C，于是 λα + µβ = ． 如果 α与 β不全为零，则取 λ = −β ∈ C，µ = −α ∈ C．显然，λ与 µ不全为零，并 且 λα + µβ = ．因此，C中任意两个向量都线性相关． ∎ 例 4.2.2 设 C是区间 [， ]上的所有连续实函数的集合，它关于函数的加法， 实数与函数的乘法成为实线性空间．设 C中向量集合 S = { f i(x) = x i ∣ i = ， ， . . .}． 证明，向量集合 S线性无关．