【文件属性】:
文件名称:线性相关-ibm_知识管理白皮书
文件大小:3.19MB
文件格式:PDF
更新时间:2021-06-15 06:26:43
线性代数 李炯生 带目录无背景
§4.2 线性相关
从解析几何可以知道,在三维实向量空间R中,向量 α和 β共线的充分必要
条件是,存在不全为零的实数 λ和 µ,使得 λα + µβ = ;向量 α, β, γ共面的充分必
要条件是,存在不全为零的实数 λ, µ和 ν,使得 λα + µβ + νγ = .三维实向量空间
R中向量之间的这种共线、共面关系,推广到数域 F 上的线性空间 V,就是向量间
的线性相关性.
定义 4.2.1 设 V 是数域 F上的线性空间,S ⊆ V.如果存在向量 α, α, . . . ,
αk ∈ S,和不全为零的纯量 λ, λ, . . . , λk ∈ F 使得
λα + λα +⋯ + λkαk = ,
则向量集合 S称为线性相关的.
特别,当向量集合 S由有限个向量 α, α, . . . , αk组成时,也称向量 α, α, . . . ,
αk线性相关.不是线性相关的向量集合 S称为线性无关的.
例 4.2.1 复向量空间C中任意两个向量都是线性相关的.
证明 设 α, β ∈ C.如果 α = β = ,则取 λ = µ = ∈ C,于是 λα + µβ = .
如果 α与 β不全为零,则取 λ = −β ∈ C,µ = −α ∈ C.显然,λ与 µ不全为零,并
且 λα + µβ = .因此,C中任意两个向量都线性相关. ∎
例 4.2.2 设 C是区间 [, ]上的所有连续实函数的集合,它关于函数的加法,
实数与函数的乘法成为实线性空间.设 C中向量集合 S = { f i(x) = x i ∣ i = , , . . .}.
证明,向量集合 S线性无关.