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文件名称：线性映射的代数运算-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2021-06-15 06:26:45
线性代数 李炯生 带目录无背景
§5.3 线性映射的代数运算
设U与 V分别是数域 F上 n维与m维线性空间，A ∶U → V与B∶U → V是线
性映射．定义映射A 与B的和A +B如下，设 α ∈ U，则令
(A +B)(α) = A (α) +B(α)．
映射A 与B的和A +B是U到V的线性映射．事实上，对任意 λ ∈F，α， β ∈U，
由和A +B的定义，
(A +B)(α + β) = A (α + β) +B(α + β)，
(A +B)(λα) = A (λα) +B(λα)．
因为A 与B是线性映射，因此
(A +B)(α + β) = A (α) +A (β) +B(α) +B(β)
= (A (α) +B(α)) + (A (β) +B(β))，
(A +B)(λα) = λA (α) + λB(α)
= λ(A (α) +B(α))．
由和A +B的定义，
(A +B)(α + β) = (A +B)(α) + (A +B)(β)，
(A +B)(λα) = λ(A +B)(α)．
即映射A +B满足 LM (1)与 LM (2)．因此A +B∶U → V 是线性映射．
设 λ ∈ F，A ∶U → V 是线性映射．定义纯量 λ与映射A 的乘积 λA 如下：设
α ∈ U，则令
(λA )(α) = λA (α)．
纯量 λ与映射A 的乘积 λA 是U到 V 的线性映射．事实上，对任意 µ ∈ F，
α， β ∈ U，由乘积 λA 的定义，
(λA )(α + β) = λA (α + β)，
(λA )(µα) = λA (µα)．
因为A ∶U → V 是线性的，因此
(λA )(α + β) = λ(A (α) +B(β)) = λA (α) + λA (β)，
(λA )(µα) = µλA (α)．
由 λA 的定义，
(λA )(α + β) = (λA )(α) + (λA )(β)，
(λA )(µα) = µ(λA )(α)．
即乘积 λA 满足 LM (1)与 LM (2)．所以 λA ∶U → V 是线性映射．
所有U到 V 的线性映射集合记为Lm×n．容易验证，集合Lm×n在上述的加法