规范变换-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2021-06-15 06:26:49
线性代数 李炯生 带目录无背景 §7.4 规范变换 本节讨论 n维 Euclid空间 V 的一类重要的线性变换． 定义 7.4.1 如果 n维 Euclid空间 V 的线性变换A 与它的伴随变换A ∗可交 换，即 A A ∗ = A ∗A ， 则A 称为规范变换． 根据定理 7.3.6，如果 n维 Euclid空间V的线性变换A 在V的一组基下的方阵 为 A，则它的伴随变换A ∗在同一组基下的方阵为 AT，因此可以引进规范方阵的概 念如下． 定义 7.4.2 如果 n阶实方阵 A与它的转置 AT可交换，则 AAT = ATA，则方阵 A称为规范方阵． 关于规范变换，有 定理 7.4.1 设A 是 n维 Euclid空间 V 的线性变换，则下述命题等价． (1) A 是规范变换； (2) 对任意 α ∈ V，∥A (α)∥ = ∥A ∗(α)∥； (3) A 在 V 的标准正交基下的方阵为规范方阵． 证明 (1)Ô⇒ (2) 对任意 α ∈ V， ∥A (α)∥ = (A (α)，A (α)) = (α，A ∗A (α))． 因为A 为规范变换，所以A A ∗ = A ∗A，因此 ∥A (α)∥ = (α，A A ∗(α)) = (A A ∗(α)， α) = (A ∗(α)，A ∗(α)) = ∥A ∗(α)∥． (2)Ô⇒ (3) 设 {ξ， ξ， . . . ， ξn}是 V 的标准正交基，且 A (ξ， ξ， . . . ， ξn) = (ξ， ξ， . . . ， ξn)A， 其中 A是 n阶实方阵．由定理 7.3.5，A 的伴随变换A ∗在这组基下的的方阵为 AT， 即 A ∗(ξ， ξ， . . . ， ξn) = (ξ， ξ， . . . ， ξn)AT． 记 A = (a i j)n×n，则对任意  ⩽ j ⩽ n， A (ξ j) = n ∑ k= ak jξk， A ∗(ξ j) = n ∑ ℓ= a jℓ ξℓ． 于是 (A (ξ i)，A (ξ j)) = ( n ∑ k= aki ξk， n ∑ ℓ= aℓ jξℓ) = n ∑ k= n ∑ ℓ= akiaℓ j(ξk， ξℓ) = n ∑ k= n ∑ ℓ= akiaℓ jδkℓ = n ∑ k= akiak j．