文件名称：正规矩阵-机器人行业报告：2020中国机器人产业的新起点
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更新时间：2024-06-29 21:25:01
计算机视觉 数学方法 影射几何 矩阵和张量
7.3 正规矩阵 7.3.1 Schur 引理 定义 7.3.1 设 A，B 是复方阵(或实方阵)，若存在酉(或正交)矩阵 U，使得 BAUUAUU == −1H (或 BAUUAUU T == −1 ) (7.3.1) 则称 A 酉相似(或正交相似)于 B。如果 A 酉相似(或正交相似)于对角矩阵，则称 A 可酉 (或正交)对 角化。 定理 7.3.1(Schur) 任何复方阵均酉相似于上三角矩阵；如果实方阵的特征值均为实数，则它正 交相似于实上三角矩阵。 证明 下面仅证明定理的前半部分，用类似方法可证明后半部分。使用数学归纳法：对于一阶矩 阵，定理显然成立。设定理对 n-1 阶方阵成立，下面证明对 n 阶矩阵也成立。 令 1λ 是 n 阶矩阵 A 的一个特征值， 1a 为相应的单位特征向量，构造以 1a 为第一列的 n 阶酉矩阵 ),,,( 211 nU aaa= ，则 ),,,(),,,( 211211 nn AAAAAAU aaaaaa λ== 因为 naaa ,,, 21 是 nC 的正交基，所以 ),...,2,1( 1 nixA j n j iji =∑= = aa ，于是， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 ),,,( 1 1211 211 A xx AU n n λ aaa 其中 1A 是 n-1 阶矩阵，由归纳假定存在 n-1 阶酉矩阵 W 和 n-1 阶上三角矩阵 R，使得 RWAW =1 H 令 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = W UU 1 1 ，则 U 是 n 阶酉矩阵，且 www.plcworld.cn