文件名称：向量空间的分解-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:39
线性代数 李炯生 带目录无背景
A5.2 向量空间的分解 有了上一节作准备，就可以将上一讲中的分解定理翻译成向量空间中的结果． 定理A4.3.5成为如下定理． 定理 A5.2.1（向量空间关于线性变换的循环分解定理）设 V 为有限维向量空 间，并且 τ ∈ L(V)．若 τ的极小多项式为 mτ(x) = pe (x)⋯p en n (x)， 这里 p i(x)是相互不同的，不可约的首一多项式，则 V 可分解为直和 V = Vp ⊕⋯⊕ Vpn ， 这里 Vp i = {v ∈ V ∣ p e i i (τ)(v) = } 是 V 的不变子空间（子模），而 τ∣ Vpi 的极小多项式为 min τ∣ Vpi = pe ii (x)． 进一步，Vp i 可以再分解为 τ−循环子空间（循环子模）的直和 Vp i = ⟨v i，⟩⊕⋯⊕ ⟨v i，k i ⟩， 这里 τ∣ ⟨v i， j⟩ 的极小多项式为 τ∣ ⟨v i， j⟩ = pe i， ji (x)， 而 e i = e i， ⩾ e i， ⩾ ⋯ ⩾ e i，k i ⩾ ， V 的初等因子 pe i， ji (x)，也就是 τ的初等因子，由算子 τ唯一确定． 归纳起来，V 可分解为 τ−循环子空间的直和 V = (⟨v，⟩⊕⋯⊕ ⟨v，k⟩)⊕⋯⊕ (⟨vn，⟩⊕⋯⊕ ⟨vn，kn⟩)． (A5.2.1) 在定理A4.3.5中，要求阶 µ = pe ⋯p en n ，这里 p i为互不相伴的素元．在定理 A5.2.1中，说 p i(x)为互不相同的不可约多项式．由于 F[x]是主理想整环，故素 元与不可约元是一致的． 用循环分解定理可以确定相似意义下的标准形式． 若 V = S ⊕ T，S，T都是 τ ∈ L(V)之下的不变子空间，则称 (S，T)约化 τ．若 V = S ⊕ T，且