实方阵的实相似-ibm_知识管理白皮书

【文件属性】：

文件名称：实方阵的实相似-ibm_知识管理白皮书

文件大小：3.19MB

文件格式：PDF

更新时间：2024-07-05 00:13:28

线性代数 李炯生 带目录无背景

§6.7 实方阵的实相似 一般地说，对于数域 F上 n阶方阵 A和 B，如果存在数域 F上 n阶可逆方阵 P， 使得 B = P−AP，则称方阵 A和 B在数域 F上相似．特别，如果 n阶实方阵 A和 B在 实数域R上相似，则称方阵 A和 B实相似．本节将讨论实方阵在实相似下的标准 形问题． 显然，如果实方阵 A和 B实相似，则方阵 A和 B相似．反之，如果实方阵 A和 B 相似，方阵 A和 B是否实相似？对此，有 定理 6.7.1 n阶实方阵 A和 B相似的充分必要条件是，方阵 A和 B相似． 证明 仅证充分性．设方阵 A和 B相似，则存在 n阶可逆复方阵 P，使得 B = P−AP．将方阵 P分为实部和虚部，即记 P = R + iQ，其中 i = −，R和 Q都是 n阶实 方阵．如果 Q是零方阵，结论已然成立．因此可设实方阵 Q ≠ ．于是由 B = P−AP 得到， (R + iQ)B = A(R + iQ)， 比较两端方阵的实部和虚部，得到 RB = AR， QB = AQ． 于是对任意实数 λ，A(R + λQ) = (R + λQ)B．记 f (λ) = det(R + λQ)． 显然 f (λ)是关于 λ的实系数多项式，当然也是关于 λ的复系数多项式．因为 f (i) = det(R + iQ) = P ≠ ， 所以 f (λ)是非零多项式．因此 f (λ)至多有有限个实根．于是存在实数 λ，使得 f (λ) = det(R + λQ) ≠ ． 这表明实方阵 R + λQ可逆，而且 B = (R + λQ)−A(R + λQ)． 也即方阵 A和 B实相似． ∎ 定理 6.7.1表明，把实方阵看成复方阵，则实方阵在相似下的全系不变量也就 是实方阵在实相似下的全系不变量．因此，实方阵在实相似下的标准形理论的两 个基本问题中尚待解决的是：寻求实方阵的实相似的等价类的代表元． 当然，实相似等价类的代表元应当是实方阵．所以我们不能用实方阵 A在相 似下的 Jordan标准形 J直接作为实方阵在实相似下的标准形．尽管如此，我们还是 从实方阵 A在相似下的标准形 J出发，构造一个和方阵 J相似的实方阵 L．由于实 方阵 A和 J相似，且方阵 J和 L相似，所以由定理 6.7.1，实方阵 A和 L实相似．于是