方阵的正交相似-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：方阵的正交相似-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:30

线性代数 李炯生 带目录无背景

§7.8 方阵的正交相似 本节将用矩阵方法讨论方阵在正交相似下的标准形．下面是关于方阵的正交 相似的一个重要定理． 定理 7.8.1 设 a ± ib， a ± ib， . . . ， as ± ibs， λs+， λs+， . . . ， λn是 n阶实方阵 A 的所有特征值，其中 i = −，a， a， . . . ， as， b， b， . . . ， bs， λs+， λs+， . . . ， λn都是实数， 且 b ⩾ b ⩾ ⋯ ⩾ bs > ．则方阵 A正交相似于如下的准下三角形： ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ A  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯  A A ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ As As ⋯ As ⋱ ⋮ αs+， αs+， ⋯ αs+，s λs+ ⋱ ⋮ αs+， αs+， ⋯ αs+，s βs+，s+ λs+ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱  αn αn ⋯ αns βn，s+ ⋯ βn，n− λn ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ ． (7.8.1) 其中 Akℓ是 阶子方阵，αkℓ是  × 矩阵，βkℓ是实数，并且对任意 j = ， ， . . . ， s，存在 阶可逆方阵 Pj，使得 A j = P−j ( a j b j −b j a j )Pj． 证明 对方阵的阶数 n用归纳法．当 n = 时定理显然成立．设 n = ．如果  阶方阵 A的特征值 λ与 λ都是实数，则存在属于特征值 λ的单位特征（列）向量 α ∈ R，使得 Aα = λα． 把单位列向量 α扩充成R的标准正交基 {α， α}，则 O = (α， α)是 阶正交 方阵， AO = A(α， α) = (α， α)( a  c λ ) = O( a  c λ )． 显然 a = λ，且 A = O( λ  c λ )OT． 因此当 A的特征值都是实数时定理成立． 如果 A的特征值都不是实数，则可设 A的特征值为 a ± ib．由于 A的特征值都 不相同，所以 A相似于对角形 diag(a + ib， a − ib)．显然方阵 ( a b −b a ) 的特征值也是 a ± ib，所以方阵 A与之相似．由 §6.7，方阵 A与之实相似．这就证