文件名称：正交变换-ibm_知识管理白皮书
文件大小：3.19MB
文件格式：PDF
更新时间：2024-07-05 00:13:29
线性代数 李炯生 带目录无背景
§7.5 正交变换 本节讨论 n维 Euclid空间 V 的一类重要的线性变换，即正交变换．它是规范 变换的特殊情形． 定义 7.5.1 设A 是 n维 Euclid空间 V 的线性变换．如果对任意 α ∈ V， ∥A (α)∥ = ∥α∥， 则A 称为正交变换．简单地说，保持向量范数不变的线性变换称为正交变换． 显然，n维 Euclid空间 V 的单位变换I 是正交变换． 设U⊥是 n维 Euclid空间 V 的子空间U的正交补，则 V = U ⊕ U⊥．即对任意 α ∈ V 都可以表为 α = ξ + η，其中 ξ ∈ U，η ∈ U⊥．定义 V 的变换A 为： A (α) = ξ − η． 于是A 是 V 的线性变换．由于 (A (α)，A (α)) = (ξ − η， ξ − η) = (ξ， ξ) − (ξ， η) + (η， η) = (ξ， ξ) + (η， η)； (α， α) = (ξ + η， ξ + η) = (ξ， ξ) + (ξ， η) + (η， η) = (ξ， ξ) + (η， η)， 所以 ∥A (α)∥ = ∥α∥．因此A 是正交变换．这个变换称为 V 关于子空间U的反射． 关于正交变换，有 定理 7.5.1 设A 是 n维 Euclid空间的线性变换．则下述命题等价： (1) A 是正交变换； (2) A 是保内积的，即对任意 α， β ∈ V，(A (α)，A (β)) = (α， β)； (3) A 把V的标准正交基变为标准正交基，即设 {ξ， ξ， . . . ， ξn}是V的标准正 交基，则 {A (ξ)，A (ξ)， . . . ，A (ξn)}也是 V 的标准正交基； (4) A 在 V 的标准正交基下的方阵是正交方阵； (5) A 是规范变换，而且A A ∗ = A ∗A = I．