复方阵的酉相似-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：复方阵的酉相似-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:31

线性代数 李炯生 带目录无背景

§8.2 复方阵的酉相似 Euclid空间的线性函数概念可以推广到酉空间． 定义 8.2.1 设 f (α)是酉空间 V 上的复值函数．如果对任意 α， α ∈ V 和复数 λ， λ， f (λα + λα) = λ f (α) + λ f (α)， 则 f (α)称为 V 的线性函数． n维酉空间 V 的所有线性函数的集合记为 V∗．集合 V∗在通常函数的加法以 及复数与函数的乘法下成为一个复线性空间，它称为酉空间 V 的对偶空间． 设 (α， β)是 n维酉空间 V 的内积．对给定 β ∈ V， fβ(α) = (α， β) 是 V 的一个线性函数．定义映射 σ ∶V → V∗如下：设 β ∈ V，则令 σ(β) = fβ． 可以验证，映射 σ是酉空间 V 到线性空间 V∗的（线性空间）同构映射．因此 V 与它的对偶空间 V∗同构． 利用映射 σ，可以证明，如果 {β， β， . . . ， βn}是 V 的基，则 { fβ ， fβ ， . . . ， fβn}是 V∗的一组基，它称为 {β， β， . . . ， βn}的对偶基． 设A 是 n维酉空间V的线性变换，(α， β)是V的内积．可以证明，对给定的向 量 β ∈ V，存在唯一的向量 β̃ ∈ V，使得 (A (α)， β) = (α， β̃)． 定义映射 Ã ∶V → V 如下：设 β ∈ V，则令A ∗(β) = β̃． 可以验证，映射A ∗是 V的一个线性变换，它称为线性变换A 的伴随变换．伴 随变换具有如下性质： (1) (A +B)∗ = A ∗ +B∗； (2) (λA )∗ = λA ∗； (3) (A B)∗ =B∗A ∗； (4) (A ∗)∗ = A； (5) 设 V 的线性变换A 在 V 的标准正交基 {α， α， . . . ， αn}下的方阵为 A，则 它的伴随变换A ∗在同一组基下的方阵为A ∗，即方阵 A的共轭转置； (6) n维酉空间 V 的线性变换A 的不变子空间W的正交补W⊥是伴随变换 A ∗的不变子空间． 现在考虑酉空间 V 的一个线性变换在不同的标准正交基下的方阵的表示的 关系．先引进 定义 8.2.2 设 A与 B是 n阶复方阵．如果存在 n阶酉方阵U，使得 B =U∗AU， 则方阵 A与 B称为酉相似的．