文件名称：实系数与复系数多项式-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:18
线性代数 李炯生 带目录无背景
§1.5 实系数与复系数多项式 系数都是实数或者都是复数的多项式分别称为实系数或复系数多项式．这节 讨论实系数多项式与复系数多项式的唯一析因理论．先证明以下的定理． 定理 1.5.1 数域 F上的 n次多项式 f (x)在 F 上至多有 n个不同的根，n ⩾ ． 证明 设 a， a， . . . ， ar是 f (x)的不同的根，a， a， . . . ， ar ∈ F．下面对 r用归纳 法证明 (x − a)(x − a)⋯(x − ar) ∣ f (x)． 事实上，当 r = 时．因为 a是 f (x)的根，故由因式定理，(x − a) ∣ f (x)． 假设结论对 r − 成立，现在证明结论对 r成立．因为 a， a， . . . ， ar−是 f (x)的 根，故由归纳假设，(x − a)(x − a)⋯(x − ar−) ∣ f (x)， f (x) = (x − a)(x − a)⋯(x − ar−)h(x)． 其中 h(x) ∈ F[x]．由于 ar为 f (x)的根，故 f (ar) = (ar − a)(ar − a)⋯(ar − ar−)h(ar) = ． 因为 a， a， . . . ， ar是 f (x)的不同的根，因此 ar−a i ≠ ，i = ， ， . . . ， r−．所以 h(ar) = ．由因式定理，h(x) = (x − ar)g(x)，于是， f (x) = (x − a)(x − a)⋯(x − ar−)(x − ar)g(x)． ∎ 定理 1.5.1并没有告诉我们，n次多项式 f (x) ∈ F[x]一定在数域 F 上有根．例 如，多项式 x + 在实数域R上就没有根．但是，当数域 F 为复数域C时，有 定理 1.5.2（代数基本定理）任意一个 n次复系数多项式一定有复数根，n ⩾ ． 这个定理是人们早就知道的．直到 1797年，二十岁的德国大数学家Gauss才 第一个给出证明．后来Gauss又给出三个证明．由于十九世纪以前的代数是以研 究代数方程为中心的，而这个定理对代数方程论又具有基本重要性，所以人们称它 为代数基本定理．这个定理的证明有的涉及复变函数论知识，而初等证明的篇幅 又嫌太长，这里就不给出了． 利用代数基本定理容易证明， 定理 1.5.3 设 f (x)是任意一个 n次复系数多项式，n > ，则 f (x)恰有 n个复 数根 c， c， . . . ， cn，而且 f (x) = a(x − c)(x − c)⋯(x − cn)， (1.5.1) 其中 a是 f (x)的首项系数． 证明 对多项式 f (x)的次数 n用归纳法．当 n = 时定理显然成立． 假设定理对次数为 n − 的多项式成立，f (x)是 n次复系数多项式．由代数基