整系数与有理系数多项式-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:18

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§1.6 整系数与有理系数多项式 系数都是整数或者都是有理数的多项式称为整系数多项式或有理系数多项 式．根据定理 1.4.1，有理系数多项式可以分解为有理系数不可约多项式的乘积，而 且不计不可约因式的次序与零次因式，不可约分解是唯一的．问题是，如何判定一 个有理系数多项式是否在有理数域Q上不可约？另外，定理 1.4.1（即多项式的唯 一析因定理）是对数域 F 而言的，对整数环Z，唯一析因定理是否仍成立，这是本节 所要讨论的． 和数域 F 上不可约多项式的定义相仿，可以给出不可约整系数多项式的定义． 设 n是正整数，如果 n次整系数多项式 f (x)可以表为两个次数小于 n的整系 数多项式的乘积，则 f (x)称为在整数环Z上不可约．否则，f (x)称为在整数环Z 上可约．容易看出，如果整系数多项式 f (x)在Z上可约，则作为有理系数多项式， f (x)在有理数域Q上也可约．反之，如果整系数多项式 f (x)在Q上可约，f (x)是 否在Z上也可约？ 为了回答这个问题，先引进以下的概念． 定义 1.6.1 如果整系数多项式 f (x) = a + ax +⋯+ anxn的系数 a， a， . . . ， an 的最大公因子为 ，则 f (x)称为本原多项式． 设整系数多项式 f (x) = a + ax +⋯ + anxn的系数的最大公因子为 d = (a， a， . . . ， an)， 则 a i = da′i，其中 a ′ i ∈ Z，i = ， ， . . . ， n，并且 (a ′ ， a ′ ， . . . ， a ′ n) = ．因此， f (x) = d(a′ + a ′ x +⋯ + a ′ nx n)． 记 f(x) = a′ + a ′ x +⋯ + a ′ nx n．显然，f(x)是本原多项式，并且 f (x) = d f(x)． 这说明，每个整系数多项式都可以表成系数的最大公因子和本原多项式的乘积． Gauss引理 任意两个本原多项式的乘积是本原多项式． 证明 设 f (x) = a + ax +⋯+ anxn与 g(x) = b + bx +⋯+ bmxm是本原多项 式．设 f (x)g(x) = c + cx +⋯ + cn+mxn+m，其中对于 k = ， ， . . . ， n +m， ck = abk + abk− +⋯ + ak−b + akb， 这里约定，当 i > m时，b i = ，而当 j > n时，a j = ． 如果 f (x)g(x)不是本原的，则 (c， c， . . . ， cn+m) ≠ ．设素数 p是 c， c， . . . ， cn+m 的公因子．由于 f (x)是本原的，故 p不是 a， a， . . . ， an的公因子．因此，可设 a i是 a， a， . . . ， an中第一个不被 p整除的系数．同理可设 b j是 b， b， . . . ， bm第一个不