文件名称：主理想整环上的模-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:37
线性代数 李炯生 带目录无背景
A4.2 主理想整环上的模 1. 在上一节中给出了有单位元的交换环 R上的模的定义以及它的一些基本 性质．当环 R是域时，模就是向量空间，至于一些向量空间中的一些基本概念与定 理，有些可以移植到模上来．如子空间、商空间、直和、生成集、线性无关、基、维数、 线性变换、核与像等等，到了模理论中有相应的名词与定义．例如，与子空间、商空 间、维数与线性变换相对应的为子模、商模、秩与模同态等．但是摸与向量空间，从 表面上看，只是建立在环与域上的差别，但相互之间有着本质的差异．这里列举一 些事实，而不加以证明． (1) 存在这样的模，它无线性无关的元素，当然也就没有基．这就是引入* 模的原因； (2) 存在这样的模，它的子模无补集； (3) 存在这样的有限生成模，其子模不是有限生成的．这就是引入Noether模 的原因； (4) 存在这样的模，它的线性相关集 S中的元素不能用 S中其它元素的线性组 合来表示； (5) 存在这样的模，其极小生成元集不是模的基，其极大线性无关集不是模的 基； (6) 存在这样的*模，其子模不*，其商模不*； (7) 若 V 是域 F 上的向量空间，r ∈ F，v ∈ V，r， v ≠ ，则 rv ≠ ．但在模的情形， 这不再永远成立；