文件名称：环上的模的基本概念-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:37
线性代数 李炯生 带目录无背景
A4.1 环上的模的基本概念 1. 若 V 是域 F 上的一个向量空间，τ ∈ L(V)．对 F[x]中任一多项式 p(x)，对 任意 v ∈ V，可定义 p(x)v = p(τ)(v)． 这就是我们要讨论线性算子作用在 V 上．显然，对任意 r(x)， s(x) ∈ F[x]，u， v ∈ V， 有 r(x)(u + v) = r(x)u + r(x)v， (r(x) + s(x))u = r(x)u + s(x)u， (r(x)s(x))u = r(x)(s(x)u)， u = u， 等等．但是 F[x]不是域而是环，所以将 F[x]中元素对 V 作数乘，V 并不能称为一 个向量空间．于是引入了比向量空间更一般的概念——模． 定义 A4.1.1 若 R是有单位元的交换环，其元素称为纯量．一个 R模 (R mo- dule)或 R上的一个模是一个非空集合M，有运算加法，记作 +，对 (u， v) ∈ M ×M， 有 u + v ∈ M；另一个是 R与M的运算是数乘，用毗连来表示，对 (r，u) ∈ F ×M，有 ru ∈ M，而且有 (1) M对 +作成 Abel群； (2) R对M的数乘满足：对所有的 r， s ∈ R，u， v ∈ M有 分配律 r(u + v) = ru + rv， (r + s)u = ru + su； 结合律 (rs)u = r(su)； 及 u = u． 显然，当 R是域时，则模为向量空间，即域上的模就是向量空间．当 R = Z（整 数环）时，则Z模就是Abel群．故模也是Abel群的概念的扩充． 特别重要的是在第一讲一开始就说到的 R = F[x]，若 F是域，则由定理A1.2.1，