文件名称：主理想整环上的有限生成模的分解定理-ibm_知识管理白皮书
文件大小：3.19MB
文件格式：PDF
更新时间：2024-07-05 00:13:38
线性代数 李炯生 带目录无背景
A4.3 主理想整环上的有限生成模的分解定理 有了以前这些准备之后，要进入本讲的主题，给出主理想整环上有限生成模的 分解定理．这需要三个步骤来建立起这些重要的定理． 第一步，将主理想整环上有限生成模分解为挠模与*模之直和． 定理 A4.3.1 若M是主理想整环 R上的有限生成模，则 M = TorM ⊕ FreeM， 这里 FreeM是一个* R模．并且这种分解是唯一的，即若还有分解M = T ⊕ N， 这里 T是M的挠子模，而 N是M的*子模，则 T = TorM，N ≅ FreeM． 证明 由于商模M/TorM是无挠的以及当M是有限生成时，M/TorM也是 有限生成的，故由定理A4.2.2可知M/TorM是*模． 考虑将M映到*模M/TorM的满同态 π∶M→M/TorM．若B是M/TorM 的基，对每个 b ∈B，取定一个 b′ ∈M使得 π(b′) = b．令B′为M中所有这样的元素 的集合．显然B′是线性无关的，于是 S = spanB′是M的子模，且同构于M/TorM． 显然Kerπ = TorM，Imπ = M/TorM．而 v ∈ TorM ∩ S = Kerπ ∩ S Ô⇒ π(v) = ， v =∑ r ib′i ， r i ∈ R Ô⇒ =∑ r iπ(b′i) =∑ r ib i Ô⇒ 对所有 i， r i = Ô⇒ v = ， 即 TorM ∩ S = {}．若 v ∈ M，则 π(v) = ∑ s ib i，而 s i ∈ R．令 u = ∑ s jb′j ∈ S，则 π(v − u) = π(v) − π(∑ s jb′j) =∑ s jb j −∑ s jb j = ． 于是 x = v − u ∈ Kerπ = TorM．故 v = x + u ∈ TorM + S．即得M = TorM ⊕ S．由于 S ≈ M/TorM，因此，M = TorM ⊕ FreeM，这里 FreeM为 S． 若M = T⊕N，这里 T为M的挠子模，N是M的*子模，则由定义 T ⊆ TorM． 设 v ∈ TorM，则 v = t + n，其中 t ∈ T，n ∈ N．于是 n = v − t ∈ TorM，但 n属于*模 N，故 n = ，即 v ∈ T．于是 T = TorM．从而 N ≈ M/TorM ≈ FreeM． ∎ 第二步，将主理想整环上有限生成模分解为准素子模的直和． 在A2.2中，曾引入了向量空间的零化子的概念．现将此概念扩充到模上． 定义 A4.3.1 若M是一个 R模，v ∈ M的零化子为 ann(v) = {r ∈ R ∣ rv = }， M的零化子为