文件名称：向量空间是主理想整环上的有限生成模-ibm_知识管理白皮书
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更新时间：2024-07-05 00:13:38
线性代数 李炯生 带目录无背景
A5.1 向量空间是主理想整环上的有限生成模 1. 若 V 是域 F 上的向量空间，线性算子 τ ∈ L(V)．对于 V 中一个基，τ对应 于 F 上的一个矩阵．对于 V 中另一个基，τ对应于另一个矩阵，在A3.1中已经知 道，这两个矩阵是相似的．问题是：对于一个固定的 τ ∈ L(V)，如何选取 V 的基， 使得对应于 τ的矩阵尽可能的简单．当然最简单的矩阵是对角矩阵，但不是所有 的 τ ∈ L(V)都能做到这点．为此，只能退而求其次，找到另一种简单的矩阵． 上述的问题也可叙述为：若 V 是域 F 上的向量空间，要找出所有与L(V)中 给定的线性算子相对应的矩阵在相似意义下的标准形式． 这是线性代数中讨论的最基本问题之一． 首先，若 V 是域 F 上的 n维向量空间，则 V 作为 F[x]模是挠模． 显然L(V)同构于由所有 n × n矩阵组成的向量空间Mn(F)．Mn(F)的维数 为 n，故对于L(V)中任一固定的 τ，n + 个向量 ε， τ， τ， . . . ， τn 是线性相关的，故在 F[x]中存在多项式 p(x)，使得 p(τ) = ．故 p(x)v = {}．因 此，V 中所有元素是挠元． 其次，V 作为 F[x]模是有限生成模． 若B = (v， . . . ， vn)是向量空间 V 的一组基，则每个向量 v ∈ V 有线性组合 v = rv +⋯ + rnvn， 这里 r i ∈ F ⊆ F[x]，故B生成模 V． 在A1.2中已知 F[x]是主理想整环，其中 F 是一个域．因此，向量空间 V 也是 主理想整环 F[x]上有限生成的挠模．所以上一讲中的分解定理能够应用．