循环子空间-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：循环子空间-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:27

线性代数 李炯生 带目录无背景

§6.2 循环子空间 设 V 是数域 F 上 n维线性空间．对于线性变换A ∶V → V，除特征子空间与根 子空间外，还有另一种不变子空间，这就是由向量生成的循环子空间． 定义 6.2.1 设 α是 V 的非零向量，V 中的线性变换A 的所有包含 α的不变 子空间的交称为由向量 α生成的（相对线性变换A 的）循环子空间，记为 C． 由定义可以看出，C是线性变换A 的包含 α的最小不变子空间．即如果线 性变换A 的不变子空间U包含向量 α，则U也包含 C．关于循环子空间 C，有 命题6.2.1 由向量 α生成的循环子空间C即是由向量 α，A (α)， . . . ，A m(α)， . . . 生成的子空间． 证明 由向量 α，A (α)， . . . ，A m(α)， . . . 生成的子空间记为U．由于C是线 性变换A 的不变子空间，因此A (α)，A (α)， . . . ，A m(α)， . . . ∈ C．所以U ⊆ C． 反之，设 α ∈ U，则存在 a， a， . . . ， ak ∈ F，使得 α = aA m(α) + aA m(α) +⋯ + akA mk(α)． 因此 A (α) = aA m+(α) + aA m+(α) +⋯ + akA mk+(α) ∈ U． 这表明，U是线性空间A 的不变子空间．从而，α ∈ U．因此 C ⊆ U． ∎ 定义 6.2.2 设 f (λ)是数域 F 上关于未定元 λ的非零多项式，α ∈ V．如果 f (A )(α) = ，则 f (λ)称为向量 α（相对线性变换A）的化零多项式． 由定义可以看出，线性变换A 的任意一个化零多项式都是向量 α（相对线性 变换A）的化零多项式．反之却不尽然． 定义 6.2.3 向量 α的所有（相对线性变换A）化零多项式中次数最小的首 一多项式称为向量 α（相对线性变换A）的最小多项式，记为 dα(λ)，或简记为 d(λ)． 向量 α的所有化零多项式的次数集合记为M．由于线性变换A 的最小多项 式 d(λ)是A 的化零多项式，因此 d(λ)是向量 α的化零多项式，即 deg g(λ) ∈ M， 所以集合M非空． 这表明，集合M一定存在一个最小的数，记为 k．于是存在向量 α的一个次 数为 k的化零多项式 g(λ)．多项式 a−g(λ)即是向量 α的最小多项式，其中 a是 多项式 g(λ)的首项系数．也就是说，向量 α的最小多项式总是存在的． 容易证明，向量 α的最小多项式 d(λ)整除向量 α的任意一个化零多项式， 而且向量 α的最小多项式 d(λ)是唯一的． 因为由向量 α生成的循环子空间 C是线性变换A 的不变子空间，所以可以