最小生成树（Prim算法与Kruskal算法）

最小生成树：

给定一个无向图，如果它的某个子图中任意两个顶点都相互连通并且是一棵树，那么这棵树就叫做生成树，如果边上有权值，那么使得边权和最小的生成树叫做最小生成树（MST）。

- 解决MST问题主要会用到两种算法
    1. Prim算法
    2. Kruskal算法

一、Prim算法

算法实现思路

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；3).重复下列操作，直到Vnew = V： a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）； b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

算法实现过程模拟

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

代码实现

void prim()
{
    int next;
    int ans=0;
    mst(vis,0);
    for(int i=2; i<=m; i++)
    {
        dis[i]=mp[1][i]; //dis数组记录从起点到剩下所有点的距离
    }
    vis[1]=1;            //标记起点
    for(int i=1; i<m; i++)
    {
        int Min=INF;
        for(int j=1; j<=m; j++)
        {
            if(!vis[j]&&Min>dis[j])
            {
                Min=dis[j];    //找到从当前已有节点到其余所有点中距离最小值
                next=j;
            }
        }
        if(Min==INF)           //无法形成生成树
        {
            printf("?\n");
            return;
        }
        ans+=Min;              //结果，整棵树的权值
        vis[next]=1;
        for(int j=1; j<=m; j++)
        {
            if(!vis[j]&&dis[j]>mp[next][j])
            {
                dis[j]=mp[next][j];   //更新dis数组
            }
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

流程图

二、Kruskal算法

算法实现思路

1).记Graph中有v个顶点，e个边2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中，如果这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中， 添加这条边到图Graphnew中

算法实现过程模拟

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

 

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是左图

 

 

代码实现

int find(int x)
{
    int t,r=x;
    while(pre[x]!=x)
    {
        x=pre[x];
    }
    while(r!=x)
    {
        t=pre[r];
        pre[r]=x;
        r=t;
    }
    return x;
}

void join(int a,int b)
{
    int A,B;
    A=find(a);
    B=find(b);
    if(A!=B)
        pre[B]=A;
}

void solve()
{
    int ans=0;
    int tot=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        if(find(a[i].x)!=find(a[i].y))   //当两个点还没连接才可以连接两点
        {
            join(a[i].x,a[i].y);
            ans+=a[i].w;
            tot++;
        }
        if(tot==m) 
            break;
    }
    int num=0;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        if(pre[i]==i)
            num++;
        if(num>1)
            break;
    }
    if(num>1)             //根节点不止一个说明此组数组无法形成树
        printf("?\n");
    else printf("%d\n",ans);
}

算法解析部分摘自http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html，侵删。