C++ 图进阶系列之 kruskal 和 Prim 算法_图向最小生成树的华丽转身

1. 前言

树和图形状相似，也有差异性。树中添加一条或多条边，可成图。图中减小一条或多条边，可成树。形态的变化由数据之间的逻辑关系决定。

• 图用来描述数据之间多对多关系。
• 树用来描述数据之间一对多关系。

思考如下问题？

如果在一座城市城市里铺设一条地铁，要求：

• 需求通过每一个街区。
• 线路或造价等最短（少）。

街区之间的逻辑关系可以用无向加权图描述。建设地铁，意味着在图中查找一棵最小生成树，这样才能满足上述要求。

什么是最小生成树？

所谓最小生成村，指从图中找出一棵树，且此树满足如下几个条件：

• 包含图中的所有顶点。
• 树中不能有环（每个顶点仅能出现一次）。
• 树中所有边的权重之和最小。

如果一个算法能同时解决上面的 3 个问题，则称这种算法为图的最小生树算法。

本文讲解kruskal和prim `最小树生成算法。

2. kruskal(克鲁斯卡尔)算法

2.1 算法思想

kruskal是如何解决最小生成树中的 3 个问题？

kruskal算法集结了 2 个核心思想：

• 贪心思想。

• 并查集思想。

贪心思想保证权重和最小

kruskal先把图中的边按权重由小到大有序排序，这里的贪心指保证每次选择权重最小的边。如果通过每次选择权重最小的边构成的树显然是权重最小的树。

并查集思想保证顶点的唯一性

树的生成是逐步过程。或者说在生成最小树过程中，有一个边界，把图中的所有顶点分成相对 2 个部分，一个是构成最小生成树的顶点集合，一个是没有加入树的顶点集合，姑且称为其它集合。

如下图所示，刚开始最小生成树集合是空的。

显然，在把图中的顶点加入到最小生成树顶点集合时，是不能把同一个顶点加入 2 次的。并查集可以做到这点。

Tips：那么，如何保证操作过程中顶点选择的唯一性?

算法使用了并查集思想。如果对并查集不是很了解，可以翻阅我的相关博文。

好！现在演示一下kruskal算法的流程。

• 把图中的边按权重由小到大进行有序排列，且把每一个顶点当成一个独立的集合。如下图所示。

• 贪心思想：选择权重最小的值为1的边(A,B) 加入到最小生成树集合中。

  并查集思想：刚开始，A和B 两顶点不在同一集合，A和B合并。

• 现在权重为2的边有(A,C)和(B,G)，选择(A,C)边。C不在最小生成树顶点集合中，可以加入。

• 再选择(B,G)。B在最小生成树顶点集合中，G不在，分属2个不同集合，将G加入。

• 权重为3的边有 3 条。选择(B,F)。如下图，F加入最小生成树。

• 权重为3的(F,G)边不能选择。因为F、G已经在同一个集合中。选择(F,E)，E加入最小生成树集合中。

• 继续选择权重值为4的(G,D)边。D可以加入最小生成树。之后，因为C、D、E已经存在于最小生成树中，(C,D)和(D,E) 边不能加入集合中。至此，最小生成树已经完成，且最小生成树的权重之和为15。

2.1 编码实现

为了让算法具有通用性，下面使用OOP组织代码。程序中有 2 个核心类：

• 树类。
• 并查集类。

除此之外，还有辅助类。

2.1.1 树类实现

描述树结构。算法中要用到并查集数据结构，并查集是基于树单位的数据结构。

顶点类： 用来描述树或图的顶点结构。

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
/*
*顶点类型
*/
template<typename T>
struct Vertex {
	//编号
	int code;
	//值
	T value;
	//前驱(父)指针
	Vertex<T>* preVertex;
	//无论是图，还是树，都有多个后驱（子）结点
	map<Vertex<T>*,int> childs;
	Vertex() {
		this->code=-1;
		this->preVertex=NULL;
	}
	Vertex(int code,T value) {
		this->code=code;
		this->preVertex=NULL;
		this->value=value;
	}
	/*
	* 添加子结点及与其权重
	*/
	Vertex<T>* addChild(Vertex<T>* vertex,int weight=1) {
		this->childs[vertex]=weight;
	}
	/*
	*重载 == 运算符
	*/
	bool operator==(Vertex<T>* vertex) {
		return this->code==vertex->code && this->value==vertex->value;
	}
	/*
	*重载 < 运算符
	*/
	bool operator<(Vertex<T>* vertex) {
		return this->code<vertex->code;
	}
	/*
	*输出结点信息
	*/
	int desc() {
		cout<<"结点名称："<<this->value<<endl;
		typename::std::map<Vertex<T>*,int>::iterator begin=this->childs.begin();
		typename::std::map<Vertex<T>*,int>::iterator end=this->childs.end();
		if(begin==end)cout<<"\t叶结点"<<endl;
		int weight=0;
		//查找子结点
		while(begin!=end) {
			Vertex<T>* child=begin->first;
			cout<<"\t子结点名称："<<child->value<<"权重："<<begin->second<<endl;
			weight+=begin->second;
			begin++;
		}
		return weight;
	}
};

树类： 提供维护树顶点的函数。

template<typename T>
class Tree {
	private:
		//根结点
		Vertex<T>* root=NULL;
		//存储所有结点
		vector<Vertex<T>*> vertexs;
		//大小
		int size=0;
		//树的权重之和
		int totalWeight=0;
	public:
		Tree() {
		}
		Tree(Vertex<T>* root) {
			this->setRoot(root);
			this->vertexs.push_back(this->root);
		}
		Tree(T val) {
			//编号从 1 开始
			this->size++;
			this->root=new Vertex<T>(this->size,val);
			this->vertexs.push_back(this->root);
		}
        //重置根结点
		void setRoot(Vertex<T>* root) {
			this->root=root;
		}
		/*
		*返回根结点
		*/
		Vertex<T>*  getRoot() {
			return this->root;
		}
		/*
		*返回树中所有结点
		*/
		vector<Vertex<T>*> getVertexs() {
			return this->vertexs;
		}
		/*
		*根据值查找结点是否存在
		*/
		Vertex<T>* findVertex(T value) {
			for(int i=0; i<this->size; i++) {
				if(this->vertexs[i]->value==value )return this->vertexs[i];
			}
			return NULL;
		}
		/*
		*查找结点是否存在
		*/
		Vertex<T>* findVertex(Vertex<T>* ver) {
			for(int i=0; i<this->vertexs.size(); i++) {
				if(this->vertexs[i]==ver )return this->vertexs[i];
			}
			return NULL;
		}

		/*
		* 根据节点值返回此树的根节点
		* 算法中，需要根据元素得知其所在的树
		* 根结点是每一棵树的唯一标志符
		*/
		Vertex<T>* getRoot(T value) {
			if(this->findVertex(value)!=NULL)return this->root;
		}
		/*
		*添加结点
		*/
		bool addVertex(Vertex<T>* ver) {
			if( this->findVertex(ver)==NULL) {
				//没有，添加
				this->vertexs.push_back(ver);
				//成功
				return true;
			}
			return false;
		}
		/*
		*合并另一颗树中的结点
		*/
		void unionTree(Tree<T>* tree) {
			//另一棵树的所有结点
			vector<Vertex<T>*> vers=tree->getVertexs();
			for(int i=0; i<vers.size(); i++)
				//合并
				this->vertexs.push_back(vers[i]);
			//修改数量
			this->size+=vers.size();
		}
		/*
		*显示树中所有结点
		*/
		void showAll() {
			cout<<"------------树 "<<this->root->value<<"------------"<<endl;
			for(int i=0; i<this->vertexs.size(); i++) {
				this->totalWeight+=this->vertexs[i]->desc();
			}
			cout<<"------------最小生成树的权重 "<<this->totalWeight<<"------------"<<endl;
		}
};

2.2.2 实现kruskal算法

本质是使用并查集合并指定边两端的顶点。

//描述图中顶点与顶点之间的关系
template<typename T>
struct Edge {
	T from;
	T to;
	int weight;
};
/*
* Kruskal 算法
*/
template<typename T>
class Kruskal {
	private:
		//集合群（森林）
		map<Vertex<T>*,Tree<T>*> trees;
		//森林中树的数量
		int size;
	public:
        /*
        *构造集合（森林）群
        */
		Kruskal(T datas[],int size) {
			this->size=size;
			this->initSets(datas);
		}
		/*
		*初始化森林
		*/
		void initSets(T datas[]) {
			for(int i=0; i<this->size; i++ ) {
				//创建只有根结点的树
				Tree<T>* tree=new Tree<T>(datas[i]);
				//存入集合群
				this->trees[tree->getRoot()]=tree;
			}
		}
		/*
		* 通过节点值查找其所在的树(集合)
		* 返回树的根结点（唯一标志符）
		*/
		Vertex<T>* find(T value) {
			typename::std::map<Vertex<T>*,Tree<T>*>::iterator begin=trees.begin();
			typename::std::map<Vertex<T>*,Tree<T>*>::iterator end=trees.end();
			while(begin!=end) {
				Tree<T> *tree=begin->second;
				Vertex<T>* root=tree->getRoot(value);
				if(root!=NULL)return root;
				begin++;
			}
			return NULL;
		}
		/*
		*合并树
		*/
		bool unionSet(T from,T to,int weight=1) {
			Vertex<T>* root =this->find(from);
			Vertex<T>* root_ =this->find(to);
            //同一棵树
			if(root==root_)return false;
			Vertex<T>* ver=this->trees[root]->findVertex(from);
			Vertex<T>* ver_=this->trees[root_]->findVertex(to);
             //合并两个顶点
			ver->addChild(ver_,weight);
			//合并树
			this->trees[root]->unionTree(this->trees[root_] );
			//删除
			this->trees.erase(root_);
			this->size--;
		}
		/*
		*查找最小生成树
		*/
		void kruskal_(Edge<T> relation[]) {
			for(int i=0; i<sizeof(relation)/sizeof(T); i++) {
				this->unionSet(relation[i].from,relation[i].to,relation[i].weight);
			}
		}
		/*
		*输出最小生成树
		*/
		void showAllTree() {
			typename::std::map<Vertex<T>*,Tree<T>*>::iterator begin=trees.begin();
			typename::std::map<Vertex<T>*,Tree<T>*>::iterator end=trees.end();
			while(begin!=end) {
				Vertex<T>* root=begin->first;
				Tree<T> *tree=begin->second;
				tree->showAll();
				begin++;
			}
		}
};

测试： 简化了图的描述，直接提供已经排序的信息，侧重测试算法设计是否准确。

int main(int argc, char** argv) {
	char datas[7]= {'A','B','C','D','E','F','G'};
    //硬代码，对图中的边按权重由小到大排序
	Edge<char> relations[9]= { {'A','B',1}, {'A','C',2},{'B','G',2},{'B','F',3},{'F','G',3},{'F','E',3},{'G','D',4},{'C','D',5},{'D','E',6} };
    //初始算法
	Kruskal<char> kruskal(datas,7);
	kruskal.kruskal_( relations);
	kruskal.showAllTree();
	return 0;
}

输出结果：和前文演示结果一致。

3. Prim(普里姆) 算法

Prim算法核心也是贪心思想，算法流程类似于最短路径算法Dijkstra算法。

相比较于kruskal，前者基于静态信息（提前对边按权重排序），后者基于动态信息（由优先队列随时调整）。

3.1 算法流程

如查询如下图结构的最小生成树。

• 任意选择一顶点，如A。然后把与此顶点相邻的边(A,B,1)、(A,C,2)压入到优先队列中，优先队列以边的权重小为优先。如下图所示。

• 从优先队列中选择(A,B,1)这条边，检查边两端的顶点是否已经被选择，选择B顶点。然后把B相邻的邻接边(B,G,2)、(B,F,3)压入到优先队列。

• 从队列中选择(A,C,2)边，选择C顶点，且把C相邻边(C,D,5)压入队列。

• 选择（B,G,2）边，选择G顶点，且把(G,F,3)、(G,D,4)压入队列。

• 从队列中选择(B,F,3)，选择F顶点，且压入(F,E,3)边。

• 选择(G,F,3)边，因边两端顶点都已经选择，再选择(F,E,3)边，选择E顶点，且把(E,d,6)压入队列。

• 最后选择(G,D,4)，选择D顶点，完成最小生成树。

3.2 编码实现

顶点类和树类和前面的kruskal算法一样。

因为需要动态获取边的权重，对边类升级：

template<typename T>
struct Edge {
	Vertex<T>* from;
	Vertex<T>* to;
	int weight;
	Edge() {}
	Edge(Vertex<T>* from,Vertex<T>* to,int weight) {
		this->from=from;
		this->to=to;
		this->weight=weight;
	}
    /*
    * 用于优先队列的比较法则
    */
	bool operator() (Edge<T>* v1, Edge<T>* v2) {
		//由小到大排列
		return v1->weight > v2->weight;
	}
};

Prim 算法类：

/*
*算法类
*/
template<typename T>
class Prim {
	private:
		//优先队列容器
		priority_queue<Edge<T>* ,vector<Edge<T>*>,Edge<T> > priorityQueue;
		//图的顶点
		map<int,Vertex<T>*> graph;
		//图的邻接矩阵
		int** martix;
		//图的顶点数量
		int size;
		//最小生成树
		Tree<T>* tree;
	public:
		/*
		*构造函数
		*/
		Prim(T data[],int** martix) {
			this->size= sizeof(data)/sizeof(T);
			//初始化图顶点
			for(int i=1; i<this->size; i++ ) {
				Vertex<T>* ver=new Vertex<T>(i,data[i]);
				this->graph[ver->code]=ver;
			}
			//初始化最小生成树
			this->tree=new Tree<T>( this->graph[1]);
            //图的邻接关系
			this->martix=martix;
		}
		/*
		*查找与某顶点邻接的边,并压入队列中
		*/
		void pushQueue(Vertex<T>* ver) {
			int row=ver->code;
			Vertex<T>* to=NULL;
			for(int i=1; i<this->size; i++) {
				if(this->martix[row][i]>0) {
					to=this->graph[i];
					Edge<T>* edge=new Edge<T>(ver,to,this->martix[row][i]);
					//添加边至队列
					this->priorityQueue.push(edge);
                     //标志已经使用
					this->martix[row][i]=0;
				}
			}
		}
		/*
		*核心
		*/
		void prim() {
			//得到最小生成树的根结点
			Vertex<T>* from= this->tree->getRoot();
			//找到邻接边
			this->pushQueue(from);
			while( !this->priorityQueue.empty() ) {
				//边出队列
				Edge<T>* edge = this->priorityQueue.top();
				this->priorityQueue.pop();
				//把结点添加至树中
				if(this->tree->addVertex(edge->from)) {
                      //查找相邻边
					this->pushQueue(edge->from);
				}
				if(this->tree->addVertex(edge->to)) {
					this->pushQueue(edge->to);
					edge->from->addChild(edge->to,edge->weight);
				}
			}
		}
		void showTree() {
			this->tree->showAll();
		}
};

测试

int main(int argc, char** argv) {
	char datas[8]= {'0','A','B','C','D','E','F','G'};
	//邻接矩阵存储顶点之间的关系
	int** martix=new int*[8];
	martix[0]=new int[8] {0,0,0,0,0,0,0,0};
	martix[1]=new int[8] {0,0,1,2,0,0,0,0};
	martix[2]=new int[8] {0,1,0,0,0,0,3,2};
	martix[3]=new int[8] {0,2,0,0,5,0,0,0};
	martix[4]=new int[8] {0,0,0,5,0,6,0,4};
	martix[5]=new int[8] {0,0,0,0,6,0,3,0};
	martix[6]=new int[8] {0,0,3,0,0,3,0,3};
	martix[7]=new int[8] {0,0,2,0,4,0,3,0};
	Prim<char> prim(datas,martix);
	prim.prim();
    cout<<"Prim 最小生成树算法"<<endl;
	prim.showTree();
	return 0;
}

输出结果：

4. 总结

kruskal和Prim算法有着同工异曲之地。都是使用贪心思想，保证在构建最小生成树时，每次获得到的权重都是最小的。区别再于，kruskal使用并查集保证顶点唯一性，Prim使用广度优先搜索。