假设以下情景，有一块木板，板上钉上了一些钉子，这些钉子可以由一些细绳连接起来。假设每个钉子可以通过一根或者多根细绳连接起来，那么一定存在这样的情况，即用最少的细绳把所有钉子连接起来。
更为实际的情景是这样的情况，在某地分布着N个村庄，现在需要在N个村庄之间修路，每个村庄之前的距离不同，问怎么修最短的路，将各个村庄连接起来。
以上这些问题都可以归纳为最小生成树问题，用正式的表述方法描述为：给定一个无方向的带权图G=(V, E)，最小生成树为集合T, T是以最小代价连接V中所有顶点所用边E的最小集合。 集合T中的边能够形成一颗树，这是因为每个节点（除了根节点）都能向上找到它的一个父节点。
解决最小生成树问题已经有前人开道，Prime算法和Kruskal算法，分别从点和边下手解决了该问题。
Prim算法
Prim算法是一种产生最小生成树的算法。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。
Prim算法从任意一个顶点开始，每次选择一个与当前顶点集最近的一个顶点，并将两顶点之间的边加入到树中。Prim算法在找当前最近顶点时使用到了贪婪算法。
算法描述：
1. 在一个加权连通图中，顶点集合V，边集合为E
2. 任意选出一个点作为初始顶点,标记为visit,计算所有与之相连接的点的距离，选择距离最短的，标记visit.
3. 重复以下操作，直到所有点都被标记为visit：
在剩下的点钟，计算与已标记visit点距离最小的点，标记visit,证明加入了最小生成树。
下面我们来看一个最小生成树生成的过程：
1 起初，从顶点a开始生成最小生成树
2 选择顶点a后，顶点啊置成visit（涂黑）,计算周围与它连接的点的距离：
3 与之相连的点距离分别为7,6,4，选择C点距离最短，涂黑C，同时将这条边高亮加入最小生成树：
4 计算与a,c相连的点的距离（已经涂黑的点不计算），因为与a相连的已经计算过了，只需要计算与c相连的点，如果一个点与a,c都相连，那么它与a的距离之前已经计算过了，如果它与c的距离更近，则更新距离值，这里计算的是未涂黑的点距离涂黑的点的最近距离，很明显，b和a为7，b和c的距离为6，更新b和已访问的点集距离为6，而f,e和c的距离分别是8,9，所以还是涂黑b,高亮边bc：
5 接下来很明显，d距离b最短，将d涂黑，bd高亮：
6 f距离d为7，距离b为4，更新它的最短距离值是4，所以涂黑f，高亮bf：
7 最后只有e了：
针对如上的图,代码实例如下：
#include<iostream>
#define INF 10000
using namespace std;
constint N = 6;
bool visit[N];
intdist[N] = { 0, };
intgraph[N][N] = { {INF,7,4,INF,INF,INF}, //INF代表两点之间不可达
{7,INF,6,2,INF,4},
{4,6,INF,INF,9,8},
{INF,2,INF,INF,INF,7},
{INF,INF,9,INF,INF,1},
{INF,4,8,7,1,INF}
};
intprim(intcur)
{
intindex = cur;
intsum = 0;
inti = 0;
intj = 0;
cout << index << " ";
memset(visit,false, sizeof(visit));
visit[cur] = true;
for(i = 0; i < N; i++)
dist[i] = graph[cur][i];//初始化，每个与a邻接的点的距离存入dist
for(i = 1; i < N; i++)
{
intminor = INF;
for(j = 0; j < N; j++)
{
if(!visit[j] && dist[j] < minor) //找到未访问的点中，距离当前最小生成树距离最小的点
{
minor = dist[j];
index = j;
}
}
visit[index] = true;
cout << index << " ";
sum += minor;
for(j = 0; j < N; j++)
{
if(!visit[j] && dist[j]>graph[index][j]) //执行更新，如果点距离当前点的距离更近，就更新dist
{
dist[j] = graph[index][j];
}
}
}
cout << endl;
returnsum; //返回最小生成树的总路径值
}
intmain()
{
cout << prim(0) << endl;//从顶点a开始
return0;
}
Kruskal算法
Kruskal是另一个计算最小生成树的算法，其算法原理如下。首先，将每个顶点放入其自身的数据集合中。然后，按照权值的升序来选择边。当选择每条边时，判断定义边的顶点是否在不同的数据集中。如果是，将此边插入最小生成树的集合中，同时，将集合中包含每个顶点的联合体取出，如果不是，就移动到下一条边。重复这个过程直到所有的边都探查过。
下面还是用一组图示来表现算法的过程：
1 初始情况，一个联通图，定义针对边的数据结构，包括起点，终点，边长度：
|
1
2
3
4
5
|
typedef
int
val;
//长度
int
start;
//边的起点
int
end;
//边的终点
}Node;
|
3 继续找到第二短的边，将c, d再放入同一个集合里：
4 继续找，找到第三短的边ab，因为a,e已经在一个集合里，再将b加入：
5 继续找，找到b,e，因为b,e已经同属于一个集合，连起来的话就形成环了，所以边be不加入最小生成树：
6 再找，找到bc，因为c,d是一个集合的，a,b,e是一个集合，所以再合并这两个集合：
这样所有的点都归到一个集合里，生成了最小生成树。
根据上图实现的代码如下：
#include<iostream>
#define N 7
using namespace std;
typedef struct _node{
intval;
intstart;
intend;
}Node;
Node V[N];
intcmp(constvoid *a, constvoid *b)
{
return(*(Node *)a).val - (*(Node*)b).val;
}
intedge[N][3] = { { 0,1,3},
{0,4,1},
{1,2,5},
{1,4,4},
{2,3,2},
{2,4,6},
{3,4,7}
};
intfather[N] = { 0, };
intcap[N] = {0,};
voidmake_set() //初始化集合，让所有的点都各成一个集合，每个集合都只包含自己
{
for(inti = 0; i < N; i++)
{
father[i] = i;
cap[i] = 1;
}
}
intfind_set(intx) //判断一个点属于哪个集合，点如果都有着共同的祖先结点，就可以说他们属于一个集合
{
if(x != father[x])
{
father[x] = find_set(father[x]);
}
returnfather[x];
}
voidUnion(intx, inty) //将x,y合并到同一个集合
{
x = find_set(x);
y = find_set(y);
if(x == y)
return;
if(cap[x] < cap[y])
father[x] = find_set(y);
else
{
if(cap[x] == cap[y])
cap[x]++;
father[y] = find_set(x);
}
}
intKruskal(intn)
{
intsum = 0;
make_set();
for(inti = 0; i < N; i++)//将边的顺序按从小到大取出来
{
if(find_set(V[i].start) != find_set(V[i].end)) //如果改变的两个顶点还不在一个集合中，就并到一个集合里，生成树的长度加上这条边的长度
{
Union(V[i].start, V[i].end); //合并两个顶点到一个集合
sum += V[i].val;
}
}
returnsum;
}
intmain()
{
for(inti = 0; i < N; i++) //初始化边的数据，在实际应用中可根据具体情况转换并且读取数据,这边只是测试用例
{
V[i].start = edge[i][0];
V[i].end = edge[i][1];
V[i].val = edge[i][2];
}
qsort(V, N, sizeof(V[0]), cmp);
cout << Kruskal(0)<<endl;
*****************************************************************************
Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
|
|
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
|
顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
|
|
下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
 |
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
|
|
在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
|
|
这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
|
顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
|
现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
4.算法代码实现(未检验)
#define MAX 100000
#define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10
int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点
void prim(int start)
{
int sumweight=0;
int i,j,k=0;
for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1开始
{
lowcost[i]=edge[start][i];
addvnew[i]=-1; //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外
}
addvnew[start]=0; //将起始点start加入Vnew
adjecent[start]=start;
for(i=1;i<VNUM-1;i++)
{
int min=MAX;
int v=-1;
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径
{
min=lowcost[j];
v=j;
}
}
if(v!=-1)
{
printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
addvnew[v]=0; //将v加Vnew中
sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
adjecent[j]=v;
}
}
}
}
printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
4.代码算法实现
typedef struct
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
typedef struct node
{
int u; //边的起始顶点
int v; //边的终止顶点
int w; //边的权值
}Edge;
void kruskal(MGraph G)
{
int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;
int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通
int E[EdgeNum]; //存放所有的边
k=0; //E数组的下标从0开始
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
{
E[k].u=i;
E[k].v=j;
E[k].w=G.edges[i][j];
k++;
}
}
}
heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列
for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组
{
vset[i]=i;
}
k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数
j=0; //E中的下标
while (k<G.n)
{
sn1=vset[E[j].u];
sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号
if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树
{
printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
k++;
for (i=0;i<G.n;i++)
{
if (vset[i]==sn2)
{
vset[i]=sn1;
}
}
}
j++;
}
}
时间复杂度：elog2e e为图中的边数
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html