数据结构（C实现）------- 最小生成树之Kruskal算法

时间：2022-08-09 11:41:21

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算法描述：

Kruskal算法是按权值递增的次序来构造最小生成树的方法。

　　　假设G(V,E)最一个具有n个顶点的连通网，顶点集V={v1,v2,....,vn}。设所求的最小生成树为T={U,TE},其中U是T的顶点集，TE是Ｔ的边集，U和TE的初始值为空集。Kruskal算法的基本思想如下：将最小生成树初始化为T=(V,TE),仅包含 G的全部顶点，不包含G的任一条边，此时，T由n 个连通分量组成，每个分量只有一个顶点；将图中G中的边按权值从小到大排序，选择代价最小了一条边，若该边所依附的顶点分属于T中的不同的连通分量，则将此边加入到TE中，否则，舍弃此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至TE中包含n-1条边（即T中所有的顶点都在同一连通分量上）为止。


算法实现：

　　　设置一个edge数组存储连通网中所有的边，为了便于选择当前权值最小的边，需要将edge中的边按权值从小到大进行排列。

　　　而在连通分量的合并上，可以采用集合的合并方法，对于有n个顶点的连通网，设置一个数组father[0...n-1]，其初始值为-1,表示n个顶点在不同的连通分量上。然后，依次扫描edge数组中的每一条边，并查找相关联的两个顶点所属的连通分量，假设vf1和vf2为两个顶点的所在树的根节点的序号，若vf1不等于vf2，则表明这条边的两个顶点不属于同一个连通分量，则将这条边作为最小生成树的边并输出，然后合并它们所属的两个连通分量。


算法代码：

int findFather(int father[],int v){
	int t = v;
	while(father[t] != -1)
		t = father[t];
	return t;
}



/* *
 *Kruskal算法求最小生成树
 * */ 
void Kruskal_MG(MGraph MG,Edge edge[]){
	int father[MAX_VEX_NUM];
	int i,count,vf1,vf2;
	// 初始化father数组
	for(i = 0;i < MAX_VEX_NUM;i++){
		father[i] = -1;
	}
	i = 0;
	count = 0; // 统计加入最小生树中的边数
	// 遍历任意两个结点之间的边
	while(i < MG.arcnum && count < MG.arcnum){
		vf1 = findFather(father,edge[i].start);
		vf2 = findFather(father,edge[i].end);
		// 如果这两个节点不属于同一个连通分量，则加入同一个连通分量
		if (vf1 != vf2){
			father[vf2] = vf1;
			count++;
			printf("%c,%c,%d\n",MG.vexs[edge[i].start],MG.vexs[edge[i].end],edge[i].cost);
		}
		i++;
	}
}

　　　其中，函数findFather的作用就是找指定节点所属的连通分量，在这里也就是找其所在树的根节点在数组中的序号。


算法说明：

　　　对于带权图G中e条边的权值的排序方法可以有多种，这里采用的是最简单的冒泡排序法，时间复杂度为O(n^2)。而判断新选择的边的两个顶点是否在同一个连通分量中，这个问题等价于一个在最多有n 个顶点的生成树中遍历寻找新选择的边的两个节点是否存在的问题，所以此算法的复杂度最坏情况下是O(n^2)。

　　　注意：一般来讲，Prim算法的时间复杂度为O(n^2),因此适合于稠密图，而Kruskal算法需要对e条边进行排序，最快的情况下复杂度为O(elog2e)，因此对于稀疏图，采用Kruskal算法比较合适。


完整代码：

/*
 * =====================================================================================
 *
 *       Filename:  Kruskal.c
 *
 *    Description:  最小生成树之Kruskal算法
 *
 *        Version:  1.0
 *        Created:  2015年05月06日 21时25分12秒
 *       Revision:  none
 *       Compiler:  gcc
 *
 *         Author:  jesson20121020 (), 997287955@qq.com
 *   Organization:  
 *
 * =====================================================================================
 */


#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VEX_NUM 50
#define MAX_ARC_NUM 100
#define UN_REACH 1000




typedef char VertexType;
typedef enum {
	DG, UDG
} GraphType;
typedef struct {
	VertexType vexs[MAX_VEX_NUM];
	int arcs[MAX_VEX_NUM][MAX_VEX_NUM];
	int vexnum, arcnum;
	GraphType type;
} MGraph;



/**
 * 根据名称得到指定顶点在顶点集合中的下标
 * vex  顶点
 * return 如果找到，则返回下标，否则，返回０
 */
int getIndexOfVexs(char vex, MGraph *MG) {
	int i;
	for (i = 1; i <= MG->vexnum; i++) {
		if (MG->vexs[i] == vex) {
			return i;
		}
	}
	return 0;
}

/**
 * 创建邻接矩阵
 */
void create_MG(MGraph *MG) {
	int i, j, k,weight;
	int v1, v2, type;
	char c1, c2;
	printf("Please input graph type DG(0) or UDG(1) :");
	scanf("%d", &type);
	if (type == 0)
		MG->type = DG;
	else if (type == 1)
		MG->type = UDG;
	else {
		printf("Please input correct graph type DG(0) or UDG(1)!");
		return;
	}

	printf("Please input vexmun : ");
	scanf("%d", &MG->vexnum);
	printf("Please input arcnum : ");
	scanf("%d", &MG->arcnum);
	getchar();
	for (i = 1; i <= MG->vexnum; i++) {
		printf("Please input %dth vex(char):", i);
		scanf("%c", &MG->vexs[i]);
		getchar();
	}

	//初始化邻接矩阵
	for (i = 1; i <= MG->vexnum; i++) {
		for (j = 1; j <= MG->vexnum; j++) {
			if(i == j)
				MG->arcs[i][j] = 0;
			else
				MG->arcs[i][j] = UN_REACH;
		}
	}

	//输入边的信息，建立邻接矩阵
	for (k = 1; k <= MG->arcnum; k++) {
		printf("Please input %dth arc v1(char) v2(char) weight(int): ", k);

		scanf("%c %c %d", &c1, &c2,&weight);
		v1 = getIndexOfVexs(c1, MG);
		v2 = getIndexOfVexs(c2, MG);
		if (MG->type == 1)
			MG->arcs[v1][v2] = MG->arcs[v2][v1] = weight;
		else
			MG->arcs[v1][v2] = weight;
		getchar();
	}




}
/**
 * 打印邻接矩阵和顶点信息
 */
void print_MG(MGraph MG) {
	int i, j;
	if(MG.type == DG){
		printf("Graph type: Direct graph\n");
	}
	else{
		printf("Graph type: Undirect graph\n");
	}

	printf("Graph vertex number: %d\n",MG.vexnum);
	printf("Graph arc number: %d\n",MG.arcnum);

	printf("Vertex set:\n ");
	for (i = 1; i <= MG.vexnum; i++)
		printf("%c\t", MG.vexs[i]);
	printf("\nAdjacency Matrix:\n");

	for (i = 1; i <= MG.vexnum; i++) {
		j = 1;
		for (; j < MG.vexnum; j++) {
			printf("%d\t", MG.arcs[i][j]);
		}
		printf("%d\n", MG.arcs[i][j]);
	}
}


// 定义边结构体
typedef struct{
	int start;
	int end;
	int cost;
}Edge;


/* *
 * 由邻接矩阵得到边的信息
 *
 * */
void init_edge(MGraph MG,Edge edge[]){
	int i,j;
	int count = 0;
	if(MG.type == 0){
		for(i = 1; i <= MG.vexnum;i++){
			for (j = 1;j <= MG.vexnum;j++){
				if(MG.arcs[i][j] != 0 && MG.arcs[i][j] != UN_REACH){
					edge[count].start = i;
					edge[count].end = j;
					edge[count].cost = MG.arcs[i][j];
					count++;
				}
			}
		}
	}
	else{
		for(i = 1; i <= MG.vexnum;i++){
			for (j = i;j <= MG.vexnum;j++){
				if(MG.arcs[i][j] != 0 && MG.arcs[i][j] != UN_REACH){
					edge[count].start = i;
					edge[count].end = j;
					edge[count].cost = MG.arcs[i][j];
					count++;
				}
			}
		}
	}

}




/* *
 *　将边按权值从大到小排序
 * */
void sort_edge(Edge edge[],int arcnum){
	int i,j;
	Edge temp;
	for(i = 0; i < arcnum - 1;i++){
		for (j = i+1;j < arcnum;j++){
			if(edge[i].cost > edge[j].cost){
				temp = edge[i];
				edge[i] = edge[j];
				edge[j] = temp;
			}
		}
	}
}

/* *
 * 输出边的信息
 * */
void print_edge(Edge edge[],int arcnum){
	int i = 0;
	while(i < arcnum){
		printf("%d,%d,%d\n",edge[i].start,edge[i].end,edge[i].cost);
		i++;
	}
}
/**
*    找出指定节点的所属的连通分量，这里是找出其根节点在father数组中下标。
**/ int findFather(int father[],int v){
	int t = v;
	while(father[t] != -1)
		t = father[t];
	return t;
}

/* *
 *Kruskal算法求最小生成树
 * */ 
void Kruskal_MG(MGraph MG,Edge edge[]){
	int father[MAX_VEX_NUM];
	int i,count,vf1,vf2;
	// 初始化father数组
	for(i = 0;i < MAX_VEX_NUM;i++){
		father[i] = -1;
	}
	i = 0;
	count = 0; // 统计加入最小生树中的边数
	// 遍历任意两个结点之间的边
	while(i < MG.arcnum && count < MG.arcnum){
		vf1 = findFather(father,edge[i].start);
		vf2 = findFather(father,edge[i].end);
		// 如果这两个节点不属于同一个连通分量，则加入同一个连通分量
		if (vf1 != vf2){
			father[vf2] = vf1;
			count++;
			printf("%c,%c,%d\n",MG.vexs[edge[i].start],MG.vexs[edge[i].end],edge[i].cost);
		}
		i++;
	}
}
/**
 * 主函数
 */
int main(void) {
	MGraph MG;
	Edge edge[MAX_ARC_NUM];
	create_MG(&MG);
	print_MG(MG);
	init_edge(MG,edge);
	sort_edge(edge,MG.arcnum);
	printf("the result of Kruskal:\n");
	Kruskal_MG(MG,edge);



	return EXIT_SUCCESS;
}


运行演示：

jesson@jesson-K43SV:~/develop/worksapce/c_learning/最小生成树$ gcc -o Kruskal Kruskal.c
jesson@jesson-K43SV:~/develop/worksapce/c_learning/最小生成树$ ./Kruskal 
Please input graph type DG(0) or UDG(1) :0
Please input vexmun : 4
Please input arcnum : 5
Please input 1th vex(char):a  
Please input 2th vex(char):b
Please input 3th vex(char):c
Please input 4th vex(char):d
Please input 1th arc v1(char) v2(char) weight(int): a b 1
Please input 2th arc v1(char) v2(char) weight(int): a c 3
Please input 3th arc v1(char) v2(char) weight(int): a d 4
Please input 4th arc v1(char) v2(char) weight(int): b c 2 
Please input 5th arc v1(char) v2(char) weight(int): c d 3
Graph type: Direct graph
Graph vertex number: 4
Graph arc number: 5
Vertex set:
 a	b	c	d	
Adjacency Matrix:
0	1	3	4
1000	0	2	1000
1000	1000	0	3
1000	1000	1000	0
the result of Kruskal:
a,b,1
b,c,2
c,d,3



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