Mobius函数计算定义+代码模板

Mobius函数定义为，输入一个正整数N，当N=1时，函数值为1，当N不为1时，首先在稿纸上将它分解质因数，若某质因数的个数大于1，则函数值为0，如N=45，45=3*3*5,3出现了两次，故函数值为0。若质因数全都不相同，设有p个，则函数值为（-1）的p次方，如78,78=2*3*13，质因数全都不相同，有3个，所以函数值为（-1）的3次方，为-1。

f(n)和g(n)是定义在正整数集合上的两个函数，若
　　

则
　　

反之亦然。
　　其中
　　μ(d)=1, 若d=偶数个不同素数之积
　　μ(d)=(-1) r, 若d=奇数个不同素数之积
　　μ(d)=0, 其他

例如：

μ( 30) = μ( 2·3·5 ) = (－1) 3

μ(12) = μ( 3·2 2) = 0

对任何素数p,μ(p)=-1

辅助定理

编辑

对于任意正整数n，恒有
　　

代码模板：

#include <stdio.h>
// 一个数字可以有的最多不同质因数个数 
#define MAX_PRIM_FACTOR_AMOUNT 1000 

/*
Mobius 函数定义为：
    输入一个正整数N，当N=1时，函数值为1，

    当N不为1时，首先在稿纸上将它分解质因数。
    若某质因数的个数大于1，则函数值为0，
    如N=45，45=3*3*5,3出现了两次，故函数值为0。

    若质因数全都不相同，设有p个，则函数值为（-1）的p次方，
    如78,78=2*3*13，质因数全都不相同，有3个，所以函数值为（-1）的3次方，为-1。
*/
/*
    功能：求  Mobius 函数的值
    参数：
        n        一个正整数  
        doPrint    是否输出正整数 n 的质因数分解形式。1：输出；0：不输出。 

    返回： 
        Mobius 函数的值
*/
int Mobius(unsigned int n, unsigned int doPrint)
{
    // 用 m 来临时保存 m 的值。因此 n 的值在运算过程中会被改变。 
    int m = n; 
    // 用 i 来枚举 n 的质因数
    int i;
    // 数字 n 的不同质因数个数 
    int primeFactorAmount = 0;
    // n 的某个质因数 i，出现在 n 中的次数 
    int countCurrentPrimeFactor = 0;
    // Mobius 函数的值。初始值为 -3，表示还没有计算出函数值。 
    int result = -3;

     // 记录所有质因数出现的次数。用于输出质因数分解形式。 
     int primFactors[MAX_PRIM_FACTOR_AMOUNT][2]; 

    if(n == 0)
    {// 【1】n==0 的情况，实际是非法的输入。这里返回 -2。 
        result = -2;
    }
    else if(n == 1)
    {// 【2】n==1 的情况
        result = 1;
    }
    else
    {
        for(i=2; i<=n ; i++)
        {
            countCurrentPrimeFactor = 0;
            while(n % i == 0)
            {
                // 从数字 n 中除去质因数 i 
                n /= i;
                // 统计质因数 i 出现的次数 
                countCurrentPrimeFactor ++;
            }

            if(countCurrentPrimeFactor >= 1)
            {// 数字 i 是数字 n 的质因数 
                primFactors[primeFactorAmount][0] = i;
                primFactors[primeFactorAmount][1] = countCurrentPrimeFactor;
                primeFactorAmount ++;

                if(countCurrentPrimeFactor > 1)
                {// 【3】 n 的某质因数的个数大于 1 的情况 
                    result = 0;
                }                
            }
        }

        if(result == -3)
        {// 【4】 n 有 p 个不同的质因数，返回 (-1)^p 
            result = (primeFactorAmount%2 ? -1 : 1);    
        }        
    }

    if(doPrint)
    {// 需要输出 n 的质因数分解形式
        if(m <= 1)
            printf("%d = %d\n", m , m);
        else
        {
            printf("%d = ", m);
            for(i=0; i<primeFactorAmount; i++)
            {
                printf("%d", primFactors[i][0]);
                if(primFactors[i][1] > 1)
                // 质因数出现多余一次，输出出现次数。 
                    printf("^%d", primFactors[i][1]);

                if(i < (primeFactorAmount-1))
                    printf(" * ");
            }
            printf("\n");
        }      
    } 

    return result;

}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int n;
    // 输入 n ，按 ctrl + z 停止输入 
    while(scanf("%d",&n) !=EOF)
    {
        printf("Mobius(%d) = %d\n", n, Mobius(n, 1));
    } 
    return 0;
}

/*
测试数据：
0
1
45
78 
12345678

测试结果：
0
0 = 0
Mobius(0) = -2
1
1 = 1
Mobius(1) = 1
45
45 = 3^2 * 5
Mobius(45) = 0
78
78 = 2 * 3 * 13
Mobius(78) = -1
12345678
12345678 = 2 * 3^2 * 47 * 14593
Mobius(12345678) = 0
^Z 
*/

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