经典电动力学的一个重要推论：只要电荷有加速度，就会产生辐射。下面进行相关的推导。
李纳-维谢尔势
设电荷的运动
r′=re(t′)
电磁标势
φ=14πε0∭ρ(r′,t′)|r−r′|dτ′
其中
t′=t−|r−r′|c,
即
c(t−t′)=|r−r′|
把运动点电荷看作是分布密度为
δ
函数的源
ρ(r′,t′)=eδ(r′−re(t′))
代入上式，得到
φ=14πε0∭eδ(r′−re(t−|r−r′|c)))|r−r′|dτ′
作一个代换
r′′=r′−re(t′)
得
Jdτ′=dτ′′J=∥∥∥∂x′′i∂x′i∥∥∥=∥∇′r′′∥
∇′r′′=∇′r′−∇′re(t′)=I⃗ −v′e∇′t′（\?顺序)=I⃗ −v′e∇′(t−|r−r′|c)
∇′
是
t
不变条件下的偏微分，所以
∇′t=0
，再设
R′=r−r′
，得
∇′r′′=I⃗ −v′e∇′(t−|r−r′|c)=I⃗ −v′ec∇′R′=I⃗ −v′ecR′R′
所以
J=∥∇′r′′∥=1−v′⋅R′R′c
所以推迟势用
r′′
作为变量得到
φ=14πε0∭eδ(r′′)R′(1−v′⋅R′cR′)dτ′′=14πε0eR′(1−v′⋅R′cR′)
这就是点电荷在
t′
时刻
r′
处产生的标势，只取决于
t′
时刻的量。
对矢势可以作同样处理，得到
A=μ04πev′R′(1−v′⋅R′cR′)=1c2φv′
这一组电磁势称为李纳-维谢尔势(Lienard-Wiechert Potential )，特点是
- 所有和源有关的项只和
t′
时刻的物理量有关，这正是推迟效应的体现。
- 分子多了一项
(1−v′⋅R′cR′)
，等效于源的电量变大
v′⋅R>0
或变小
v′⋅R<0
，这是多普勒效应的体现。
运动电荷的标势和矢势
φ=14πε0eR′(1−v′⋅R′cR′)A=1c2φv′
设
s′=R′−R′⋅v′cR′=r−r′
将方程改写为
φ=14πε0es′A=1c2φv′
电磁场方程
E=−∇φ−∂A∂tB=∇×A
在代入计算之前，先解决微分变量的问题。注意到
E
和
B
的表达式中，所有关于源的微分计算都是对
t
时刻的，而
φ
和
A
的表达式中所有关于源的物理量都是
t′
时刻的，所以需要做一些处理。
t′,r′,v′
对
r,t
的依赖关系：
t′=t′(r,t)r′=re(t′(r,t))v′=dre(t′)dt′=v′(t′(r,t))
其中
t′=t−|r−r′|c
,
re(t′)
是已知函数（运动方程），但是
t′=t−|r−r′|c
不是显式，而是一个隐函数。
对形如
f(r,t′(r,t))
的复合函数，对
t
求偏微分，有
∂∂t=∂t′∂t∂∂t′
对
r
求偏微分，得
∇=∇′+(∇t′)∂∂t′(\?)
其中
∇′
是保持
t′
不变对
r
的偏微分。
在方程
t′=t−|r−r′|c
两边对
t
求偏微分，得
∂t′∂t=1−1c∂R′∂t=1−1c∂t′∂t∂R′∂t′
其中
∂R′∂t′
是保持
r
不变对
t′
求偏导，如图所示
∂R′∂t′=−R′⋅v′R′
所以根据
∂t′∂t=1−1c∂t′∂t∂R′∂t′
得
∂t′∂t=11−R′⋅v′cR′=R′s′
∂R′∂t=∂t′∂t∂R′∂t′=−R′⋅v′s′
在方程
t′=t−|r−r′|c
两边保持
t
不变，对
r
求偏微分，得
∇t′=∇t−∇|r−r′|c=0(保持t不变)−∇R′c=−1c(∇′R′+(∇t′)∂R′∂t′)
其中
∇′R′=R′R′,∂R′∂t′=−R′⋅v′R′
，代入，得
∇t′=−R′cs′∇R′=R′s′
至此，已经得到了
∂t′∂t,∂R′∂t,∇t′,∇R′
几个量.
运动电荷产生的电磁场
将Lienard-Wiechert势
φ=14πε0es′A=1c2φv′
代入电场方程
E=−∇φ−∂A∂t
得
E=−e4πε0(∇1s′+1c2∂∂tv′s′)=−e4πε01s′2(−∇s′+1c2(∂v′∂ts′−∂s′∂tv′))
其中
∂v′∂t=∂v′∂t′∂t′∂t=∂v′∂t′R′s′=a′R′s′
所以
E=−e4πε01s′2(−∇s′+a′R′c2−1c2∂s′∂tv′)
∇s′=∇′s′+(∇t′)∂s′∂t′=∇′s′+(∇t′)∂s′∂t′
利用前面的结论
∇′s′=R′R′−v′c(\?∇′R′=δij?)∂s′∂t′=(R′R′−v′c)⋅v′−R′⋅a′c
所以
∇s′=（）∂s∂t′=（）
E=e4πε01s′3{(1−v′2c2)(R′−R′cv′)+1c2R′×[(R′−R′cv′)×a′]}
得，
B=1cR′R′×E
这就是运动点电荷的电磁场方程，略复杂。
本文主要参考俞允强《电动力学简明教程》
