文件名称：常微分方程的解法-ansysworkbench 工程实例详解
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更新时间：2024-07-01 15:44:15
数学建模
第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且*项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如 22 xy dx dy += ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤≤= 0)( ),( yay bxayxf dx dy (1) 在下面的讨论中，我们总假定函数 ),( yxf 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得 |||),(),(| yyLyxfyxf −≤− 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解 )(xy 在若干点 bxxxxa N =<<<<= L210 处的近似值 ),,2,1( Nnyn L= 的方法， ),,2,1( Nnyn L= 称为问题（1）的数值解， nnn xxh −= +1 称为由 nx 到 1+nx 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i）用差商近似导数 若用向前差商 h xyxy nn )()( 1 −+ 代替 )(' nxy 代入（1）中的微分方程，则得 ),1,0())(,( )()( 1 L=≈ −+ nxyxf h xyxy nn nn 化简得 ))(,()()( 1 nnnn xyxhfxyxy +≈+ 如果用 )( nxy 的近似值 ny 代入上式右端，所得结果作为 )( 1+nxy 的近似值，记为 1+ny ， 则有 ),1,0(),(1 L=+=+ nyxhfyy nnnn （2） 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ⎩ ⎨ ⎧ = =+=+ )( ),1,0(),( 0 1 ayy nyxhfyy nnnn L （3） 得到，按式（3）由初值 0y 可逐次算出 L,, 21 yy 。式（3）是个离散化的问题，称为差 分方程初值问题。