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文件名称：常微分方程的解法-ansysworkbench 工程实例详解
文件大小：4.07MB
文件格式：PDF
更新时间：2021-06-11 21:57:35
数学建模
第十五章 常微分方程的解法
建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并
加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线
性常系数微分方程，并且*项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，
而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的
方程如
22 xy
dx
dy
+= ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十
分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≤≤=
0)(
),(
yay
bxayxf
dx
dy
(1)
在下面的讨论中，我们总假定函数 ),( yxf 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条
件，即存在常数 L ，使得
|||),(),(| yyLyxfyxf −≤−
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 )(xy 在若干点
bxxxxa N =<<<<= L210
处的近似值 ),,2,1( Nnyn L= 的方法， ),,2,1( Nnyn L= 称为问题（1）的数值解，
nnn xxh −= +1 称为由 nx 到 1+nx 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
（i）用差商近似导数
若用向前差商
h
xyxy nn )()( 1 −+
代替 )(' nxy 代入（1）中的微分方程，则得
),1,0())(,(
)()( 1 L=≈
−+ nxyxf
h
xyxy
nn
nn
化简得
))(,()()( 1 nnnn xyxhfxyxy +≈+
如果用 )( nxy 的近似值 ny 代入上式右端，所得结果作为 )( 1+nxy 的近似值，记为 1+ny ，
则有
),1,0(),(1 L=+=+ nyxhfyy nnnn （2）
这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题
⎩
⎨
⎧
=
=+=+
)(
),1,0(),(
0
1
ayy
nyxhfyy nnnn L （3）
得到，按式（3）由初值 0y 可逐次算出 L,, 21 yy 。式（3）是个离散化的问题，称为差
分方程初值问题。