文件名称：差分方程模型-ansysworkbench 工程实例详解
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更新时间：2024-07-01 15:44:15
数学建模
第十六章 差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 §1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定 t只取非负整数。记 ty 为变量 y 在 t点的取值，则称 ttt yyy −=Δ +1 为 ty 的一 阶向前差分，简称差分，称 ttttttt yyyyyyy +−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ +++ 121 2 2)( 为 ty 的二 阶差分。类似地，可以定义 ty 的n 阶差分 t n yΔ 。 由 tyt、 及 ty 的差分给出的方程称为 ty 的差分方程，其中含 ty 的最高阶差分的阶 数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 02 =+Δ+Δ ttt yyy 也可改写成 012 =+− ++ ttt yyy 。 满足一差分方程的序列 ty 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 )(110 tbyayaya tntntn =+++ −++ L （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中 naaa ,,, 10 L 是常数， 00 ≠a 。其对应的齐次方程为 0110 =+++ −++ tntntn yayaya L （2） 容易证明，若序列 )1( ty 与 )2( ty 均为（2）的解，则 )2( 2 )1( 1 ttt ycycy += 也是方程（2）的 解，其中 21,cc 为任意常数。若 )1( ty 是方程（2）的解， )2( ty 是方程（1）的解，则 )2()1( ttt yyy += 也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I）先求解对应的特征方程 00 1 10 =+++ − aaa nn Lλλ （3） （II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根 nλλ ,,1 L ，则齐次方程（2）的通解 为 t nn t cc λλ ++L11 （ ncc ,,1 L 为任意常数） （ii）若λ是特征方程（3）的 k 重根，通解中对应于λ的项为 tkk tcc λ)( 1 1 −++L ， ),,1( kici L= 为任意常数。 （ iii）若特征方程（ 3）有单重复根 iβαλ ±= ，通解中对应它们的项为 tctc tt ϕρϕρ sincos 21 + ，其中 22 βαρ += 为λ的模， α β ϕ arctg= 为λ的幅角。 （iv）若 iβαλ ±= 是特征方程（3）的 k 重复根，则通解对应于它们的项为 ttccttcc tkkk tk k ϕρϕρ sin)(cos)( 1 21 1 1 − + − +++++ LL