文件名称：与下述方程-ansysworkbench 工程实例详解
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更新时间：2024-07-01 15:44:14
数学建模
第十四章 稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义 下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可 以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。 §1 微分方程稳定性理论简介 定义 1 称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组） ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == )( ),( ),( 1 tf txf txF dt dx N M （1） 中的 )(),( xFtxF = ，即在F 中不含时间变量 t。 事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定 义 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = t x y ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 ),( )( txF yG 且引入另一个变量 s ，则方程（1）与下述方程 )( yG ds dy = 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称 为动力系统。 定义 2 系统 )(xF dt dx = （2） 的相空间是以 ),,( 1 nxx L 为坐标的空间 nR ，特别，当 2=n 时，称相空间为相平面。 空间 nR 中的点集 },,1,)2()(|),,{( 1 nitxxxx iin LL == 满足 称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。 定义 3 相空间中满足 0)( 0 =xF 的点 0x 称为系统（2）的奇点（或平衡点）。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ += += dycx dt tdy byax dt tdx )( )( （3） 当 0=− bcad 时，有一个连续的奇点的集合。当 0≠− bcad 时， )0,0( 是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点，给出下述定理：