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文件名称：与下述方程-ansysworkbench 工程实例详解
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更新时间：2021-06-11 21:57:34
数学建模
第十四章 稳定状态模型
虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些
实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义
下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下
描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值
而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可
以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
§1 微分方程稳定性理论简介
定义 1 称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组）
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
)(
),(
),(
1
tf
txf
txF
dt
dx
N
M （1）
中的 )(),( xFtxF = ，即在F 中不含时间变量 t。
事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定
义
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
t
x
y ， ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
),(
)(
txF
yG
且引入另一个变量 s ，则方程（1）与下述方程
)( yG
ds
dy
=
是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称
为动力系统。
定义 2 系统
)(xF
dt
dx
= （2）
的相空间是以 ),,( 1 nxx L 为坐标的空间
nR ，特别，当 2=n 时，称相空间为相平面。
空间
nR 中的点集
},,1,)2()(|),,{( 1 nitxxxx iin LL == 满足
称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。
定义 3 相空间中满足 0)( 0 =xF 的点 0x 称为系统（2）的奇点（或平衡点）。
奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=
+=
dycx
dt
tdy
byax
dt
tdx
)(
)(
（3）
当 0=− bcad 时，有一个连续的奇点的集合。当 0≠− bcad 时， )0,0( 是这个系统的
唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点，给出下述定理：