一元多项式环-ibm_知识管理白皮书

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文件名称：一元多项式环-ibm_知识管理白皮书

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更新时间：2024-07-05 00:13:17

线性代数 李炯生 带目录无背景

§1.2 一元多项式环 在中学里，我们遇到过一次方程与二次方程，它们可以从两方面推广．一方面 从次数推广，即推广为 次，次以至 n次的方程；另一方面从系数所属的范围推 广．由 §1.1可以看到，系数所属的实数域可以推广为其它的数域．这就引出以下 的定义． 定义 1.2.1 设 F是数域，x是未定元，a， a， . . . ， an ∈ F，an ≠ ，n是非负整数． 则 f (x) = anxn + an−xn− +⋯ + ax + a 称为数域 F上的一元多项式，数域 F上的一元多项式 f (x)的全体所成的集合记为 F[x]．其中 a ix i称为多项式 f (x)的 i次项，数 a i称为 f (x)的 i次项系数． 特别地，a称为 f (x)的常数项，anxn称为 f (x)的首项（或最高次项），an称为 f (x)的首项系数．如果 an = ，则 f (x)称为首一多项式． 非负整数 n称为 f (x)的次数，记为 deg f (x)． 如果多项式 f (x)的系数全为零，则 f (x)称为零多项式，这时仍记为 ．约定 零多项式的次数为 −∞．注意，零次多项式不是零多项式．有时也称零次多项式为 纯量多项式． 如果上述定义中，把数域 F改成数环，则 f (x)称为数环 F上的一元多项式，其 它的规定是相同的． 设 f (x) = anxn + an−xn− +⋯ + ax + a， an ≠ ； g(x) = bmxm + bm−xn− +⋯ + bx + b， bm ≠  是数域 F上的两个多项式．如果 f (x)与 g(x)适合 a i = b i，i = ， ， ， . . .，则 f (x)与 g(x)称为相等，记为 f (x) = g(x)． 多项式 f (x)与 g(x)的和 f (x) + g(x)定义为多项式 (a + b) + (a + b)x + (a + b)x +⋯， 即多项式 f (x)+ g(x)的 i次项系数为 a i+b i，i = ， ， . . .．其中当 n ⩾m时，约定 g(x)